ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольник \(MM_1N_1N\) — сечение цилиндра, параллельное его оси. На окружностях оснований цилиндра по разные стороны от данного сечения выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 7.21). Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\).

Плоскость \(MM_1N_1\) пересекает оси цилиндра, проходящие через точки \(A\) и \(B\), в точках \(M_1\) и \(N_1\) соответственно.

Прямая \(AB\) пересекает плоскость \(MM_1N_1\) в точке, которая лежит на отрезке \(M_1N_1\).

Для нахождения точки пересечения проведём через точки \(A\) и \(B\) прямые, параллельные оси цилиндра, и обозначим их пересечения с плоскостью \(MM_1N_1\) как \(M_1\) и \(N_1\).

Точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\) делит отрезок \(M_1N_1\) в таком же отношении, в каком точки \(A\) и \(B\) делят соответствующие основания цилиндра.

Если на основании цилиндра \(AM_1 : BN_1 = k : m\), то точка пересечения \(P\) найдётся по формуле:

\(P = M_1 + \frac{k}{k+m}(N_1 — M_1)\).

Рассмотрим цилиндр с основанием, на котором расположены точки \(A\) и \(B\). Через эти точки проведём прямые, параллельные оси цилиндра, которые пересекут противоположное основание в точках \(M_1\) и \(N_1\) соответственно. Пусть плоскость \(MM_1N_1\) проходит через точки \(M\), \(M_1\) и \(N_1\). Прямая \(AB\) соединяет точки \(A\) и \(B\), лежащие на одном основании цилиндра.

Для нахождения точки пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\) заметим, что эта точка должна лежать на отрезке \(M_1N_1\), поскольку плоскость проходит через \(M_1\) и \(N_1\), а прямая \(AB\) соединяет точки, связанные с этими точками основания цилиндра. Отношение, в котором точка пересечения делит отрезок \(M_1N_1\), совпадает с отношением, в котором точки \(A\) и \(B\) делят соответствующие основания цилиндра, то есть если \(AM_1 : BN_1 = k : m\), то точка \(P\) делит \(M_1N_1\) в том же отношении.

Векторное выражение для координат точки пересечения \(P\) будет следующим: если \(M_1\) и \(N_1\) имеют координаты \((x_{M_1}, y_{M_1}, z_{M_1})\) и \((x_{N_1}, y_{N_1}, z_{N_1})\), то координаты точки \(P\) можно записать как \(P = M_1 + \frac{k}{k+m}(N_1 — M_1)\), где \(k\) и \(m\) — длины отрезков \(AM_1\) и \(BN_1\) соответственно. В координатной форме это будет: \(P_x = x_{M_1} + \frac{k}{k+m}(x_{N_1} — x_{M_1})\), \(P_y = y_{M_1} + \frac{k}{k+m}(y_{N_1} — y_{M_1})\), \(P_z = z_{M_1} + \frac{k}{k+m}(z_{N_1} — z_{M_1})\).

Таким образом, точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\) можно найти, используя вышеописанное соотношение. Это решение основывается на свойствах цилиндра и параллельности прямых, а также на том, что деление отрезка сохраняет пропорцию между соответствующими точками основания и пересечениями на противоположном основании.

Рассмотрим цилиндр с основанием, на котором расположены точки \(A\) и \(B\). Через эти точки проведём прямые, параллельные оси цилиндра, которые пересекут противоположное основание в точках \(M_1\) и \(N_1\) соответственно. Пусть плоскость \(MM_1N_1\) проходит через точки \(M\), \(M_1\) и \(N_1\). Прямая \(AB\) соединяет точки \(A\) и \(B\), лежащие на одном основании цилиндра.

Для нахождения точки пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\) заметим, что эта точка должна лежать на отрезке \(M_1N_1\), поскольку плоскость проходит через \(M_1\) и \(N_1\), а прямая \(AB\) соединяет точки, связанные с этими точками основания цилиндра. Отношение, в котором точка пересечения делит отрезок \(M_1N_1\), совпадает с отношением, в котором точки \(A\) и \(B\) делят соответствующие основания цилиндра, то есть если \(AM_1 : BN_1 = k : m\), то точка \(P\) делит \(M_1N_1\) в том же отношении.

Векторное выражение для координат точки пересечения \(P\) будет следующим: если \(M_1\) и \(N_1\) имеют координаты \((x_{M_1}, y_{M_1}, z_{M_1})\) и \((x_{N_1}, y_{N_1}, z_{N_1})\), то координаты точки \(P\) можно записать как \(P = M_1 + \frac{k}{k+m}(N_1 — M_1)\), где \(k\) и \(m\) — длины отрезков \(AM_1\) и \(BN_1\) соответственно. В координатной форме это будет: \(P_x = x_{M_1} + \frac{k}{k+m}(x_{N_1} — x_{M_1})\), \(P_y = y_{M_1} + \frac{k}{k+m}(y_{N_1} — y_{M_1})\), \(P_z = z_{M_1} + \frac{k}{k+m}(z_{N_1} — z_{M_1})\).

Таким образом, точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\) можно найти, используя вышеописанное соотношение. Это решение основывается на свойствах цилиндра и параллельности прямых, а также на том, что деление отрезка сохраняет пропорцию между соответствующими точками основания и пересечениями на противоположном основании.