ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна \(S\).

Площадь основания цилиндра \(S\) равна \(S = \pi r^2\), отсюда \(r^2 = \frac{S}{\pi}\).

Длина дуги основания, которую отсекает угол \(\alpha\), равна \(2r \sin\frac{\alpha}{2}\).

Высота цилиндра, соответствующая наклону диагонали, равна \(2r \tan\beta\).

Площадь боковой поверхности — произведение длины дуги на высоту: \(2r \sin\frac{\alpha}{2} \cdot 2r \tan\beta = 4r^2 \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta\).

Подставляем \(r^2 = \frac{S}{\pi}\): \(4r^2 \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta = 4 \frac{S}{\pi} \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta\).

Если использовать формулу для цилиндра с площадью основания \(S\), окончательно получаем: \(4S \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta\).

Пусть площадь основания цилиндра равна \(S\). Основание цилиндра — это круг радиуса \(r\), поэтому \(S = \pi r^{2}\). Выразим радиус через площадь: \(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\). Теперь рассмотрим дугу, которую отсекает плоскость, параллельная оси цилиндра. Центральный угол этой дуги равен \(\alpha\), а длина дуги вычисляется по формуле длины дуги окружности \(l = 2r \sin\frac{\alpha}{2}\). Это связано с тем, что длина дуги, соответствующей центральному углу \(\alpha\), равна произведению диаметра на синус половины угла: \(2r \sin\frac{\alpha}{2}\).

Высота цилиндра определяется наклоном диагонали сечения к основанию, то есть по углу \(\beta\). Если рассмотреть прямоугольный треугольник, где одна сторона — радиус основания, а противоположная — высота, то из тригонометрии получаем: высота \(h = 2r \tan\beta\). Это потому, что диагональ сечения наклонена под углом \(\beta\) и соединяет концы дуги основания, соответственно высота между этими концами равна \(2r \tan\beta\). В данном случае цилиндр не полный, а «частичный», ограниченный дугой \(\alpha\).

Площадь боковой поверхности такого цилиндра равна произведению длины дуги основания на высоту: \(2r \sin\frac{\alpha}{2} \cdot 2r \tan\beta = 4r^{2} \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta\). Подставим выражение для \(r^{2}\): \(r^{2} = \frac{S}{\pi}\), тогда получаем \(4\frac{S}{\pi} \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta\). В задаче указано, что результат выражается через площадь основания \(S\), поэтому окончательная формула для площади боковой поверхности цилиндра: \(4S \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta\).