ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна \(S\).

Пусть радиус основания цилиндра — \( r \), высота — \( h \).

Длина хорды, видимой под углом \(\alpha\) из центра: \( 2r \sin\frac{\alpha}{2} \).

Площадь сечения: \( S = 2r \sin\frac{\alpha}{2} \cdot h \), откуда \( h = \frac{S}{2r \sin\frac{\alpha}{2}} \).

Площадь боковой поверхности цилиндра: \( 2\pi r h \).

Подставляем выражение для \( h \):

\( S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot \frac{S}{2r \sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi S}{\sin\frac{\alpha}{2}} \).

В задаче дана плоскость, проходящая параллельно оси цилиндра и пересекающая его основание по хорде. Из центра основания эта хорда видна под углом \(\alpha\). Это значит, что длина хорды выражается через радиус основания \(r\) и угол \(\alpha\) формулой: длина хорды равна \(2r \sin\frac{\alpha}{2}\). Такой вывод делается из свойств круга: если из центра виден угол \(\alpha\) на хорду, то половина этого угла — это угол между радиусом и отрезком, соединяющим конец хорды с центром, а длина хорды вычисляется по стандартной формуле для круга.

Площадь сечения, которое образует эта плоскость, равна произведению длины хорды на высоту цилиндра: \(S = 2r \sin\frac{\alpha}{2} \cdot h\). Это связано с тем, что сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого — длина хорды, а другая — высота цилиндра. Из этой формулы выражаем высоту цилиндра: \(h = \frac{S}{2r \sin\frac{\alpha}{2}}\), то есть высота равна площади сечения, делённой на длину хорды.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле \(2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота. Подставляем найденное выражение для \(h\): \(S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot \frac{S}{2r \sin\frac{\alpha}{2}}\). Сокращаем \(2r\) в числителе и знаменателе, получаем окончательную формулу для площади боковой поверхности цилиндра через площадь сечения и угол: \(S_{\text{бок}} = \frac{\pi S}{\sin\frac{\alpha}{2}}\).