ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно (рис. 7.18). Точка \(A\) — произвольная точка окружности, ограничивающей нижнее основание цилиндра. Отрезок \(O_1A\) равен 6 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Отрезок \( O_1A = 6 \) см образует с основанием угол \( 60^\circ \).

Высота цилиндра \( h = 6 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.

Радиус основания \( r = 6 \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра \( S = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 18 \pi \sqrt{3} \) см².

Дано, что отрезок \( O_1A \), соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой на окружности нижнего основания, равен 6 см и образует угол \( 60^\circ \) с плоскостью основания цилиндра. Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, сначала необходимо определить радиус основания и высоту цилиндра.

Высота цилиндра — это проекция отрезка \( O_1A \) на вертикальную ось, перпендикулярную основанию. Поскольку угол между отрезком \( O_1A \) и основанием равен \( 60^\circ \), высота \( h \) вычисляется как \( h = 6 \cdot \sin 60^\circ \). Значение \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см. Это расстояние между основаниями цилиндра.

Радиус основания цилиндра — это проекция отрезка \( O_1A \) на плоскость основания. Он равен \( r = 6 \cdot \cos 60^\circ \). Значение \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), следовательно, \( r = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см. Теперь, зная радиус \( r \) и высоту \( h \), можно найти площадь боковой поверхности цилиндра по формуле \( S = 2 \pi r h \). Подставляя значения, получаем \( S = 2 \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 18 \pi \sqrt{3} \) см².