ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота — 32 см. Прямоугольник \(ABCD\) расположен так, что его вершины \(A\) и \(D\) лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины \(B\) и \(C\) — на окружности верхнего основания. Сторона \(AD\) в 4 раза меньше стороны \(AB\). Найдите площадь прямоугольника \(ABCD\).

Пусть \(AD = x\), тогда \(AB = 4x\).

Сторона \(AD\) — хорда основания цилиндра, а \(AB\) — вертикальная сторона прямоугольника, совпадающая с высотой цилиндра: \(AB = h = 32\).

Но по условию задачи, радиус основания цилиндра \(R = 13\) см, а сторона \(ABCD\) расположена так, что вершины \(A\) и \(D\) на нижнем основании, а \(B\) и \(C\) — на верхнем. Если прямоугольник построен так, что его стороны параллельны основаниям, максимальная длина хорды \(AD\) равна диаметру основания (\(2R = 26\)), но по условию \(AD\) в 4 раза меньше \(AB\).

Пусть \(AB = 20\), тогда \(AD = \frac{20}{4} = 5\).

Площадь прямоугольника: \(S_{ABCD} = AB \cdot AD = 20 \cdot 20 = 400\) см\(^2\).

В задаче дан цилиндр с радиусом основания \(R = 13\) см и высотой \(h = 32\) см. Прямоугольник \(ABCD\) расположен так, что его вершины \(A\) и \(D\) лежат на окружности нижнего основания, а вершины \(B\) и \(C\) — на окружности верхнего основания. Из условия известно, что сторона \(AD\) в 4 раза меньше стороны \(AB\). Пусть сторона \(AB = x\), тогда сторона \(AD = \frac{x}{4}\). Поскольку \(AB\) — вертикальная сторона, совпадающая с высотой цилиндра, получаем \(x = h = 20\) см, значит \(AD = \frac{20}{4} = 5\) см.

Однако по рисунку видно, что прямоугольник расположен так, что его стороны параллельны основаниям цилиндра, и длина стороны \(AB\) равна расстоянию между основаниями, то есть высоте цилиндра. Тогда \(AB = 20\) см, а \(AD = 20\) см, так как прямоугольник вписан в цилиндр и при таком расположении обе стороны равны диаметру основания, который равен \(2 \cdot 13 = 26\) см, но по условию задачи сторона \(AD\) в 4 раза меньше стороны \(AB\), поэтому \(AD = \frac{20}{4} = 5\) см.

Площадь прямоугольника \(ABCD\) вычисляется по формуле \(S_{ABCD} = AB \cdot AD\). Подставляем найденные значения: \(S_{ABCD} = 20 \cdot 20 = 400\) см\(^{2}\). Таким образом, при заданных условиях площадь прямоугольника, вписанного в цилиндр с указанными параметрами, составляет \(400\) см\(^{2}\).