ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания цилиндра равен 8 см. Две вершины квадрата со стороной 12 см принадлежат окружности одного основания цилиндра, а две — окружности другого основания. Найдите высоту цилиндра, если плоскость данного квадрата пересекает отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра.

Радиус основания цилиндра \(R = 1\), высота \(h = \sqrt{2}\). Вершины \(A\) и \(B\) лежат на окружности одного основания, а вершина \(C\) — на окружности другого основания. Расстояние между основаниями равно \(h = \sqrt{2}\).

Треугольник \(ABC\) равносторонний, значит, все его стороны равны. Расстояние между \(A\) и \(B\) равно диаметру основания цилиндра, то есть \(2R = 2\). Расстояние между \(A\) и \(C\) или \(B\) и \(C\) также равно стороне треугольника, которая вычисляется с учетом высоты цилиндра.

Используем теорему Пифагора для нахождения стороны треугольника:
\[
s = \sqrt{(2R)^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}.
\]

Сторона треугольника может быть равна \(2\) см (если вершина \(C\) проецируется на середину отрезка \(AB\)) или \(\sqrt{3}\) см (если вершина \(C\) проецируется в точку, образующую равносторонний треугольник).

Ответ: \(2\) см или \(\sqrt{3}\) см.

Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \(R = 1\) и высотой \(h = \sqrt{2}\). Пусть вершины \(A\) и \(B\) лежат на окружности одного основания цилиндра, а вершина \(C\) — на окружности другого основания. Треугольник \(ABC\) равносторонний, то есть все его стороны равны. Нам нужно найти возможные значения длины стороны этого треугольника.

Расстояние между вершинами \(A\) и \(B\), лежащими на окружности одного основания, равно диаметру этой окружности, так как в равностороннем треугольнике \(ABC\) вершины \(A\) и \(B\) всегда находятся на максимальном расстоянии друг от друга в пределах одной окружности. Диаметр окружности равен \(2R = 2\).

Теперь рассмотрим расстояние между вершинами \(A\) и \(C\) или \(B\) и \(C\). Вершина \(C\) лежит на окружности другого основания цилиндра, которое находится на высоте \(h = \sqrt{2}\) относительно нижнего основания. Расстояние между вершинами \(A\) и \(C\) можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, так как \(A\) и \(C\) лежат в разных основаниях цилиндра. В этом случае гипотенуза треугольника будет равна стороне равностороннего треугольника \(s\), а катеты равны расстоянию между основаниями цилиндра (\(h = \sqrt{2}\)) и диаметру основания (\(2R = 2\)).

Применим теорему Пифагора:
\(
s = \sqrt{(2R)^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}.
\)

Таким образом, сторона равностороннего треугольника \(ABC\) может быть равна \(s = \sqrt{6}\), если вершина \(C\) проецируется в точку, образующую равносторонний треугольник.

Однако в частных случаях, когда вершина \(C\) проецируется на середину отрезка \(AB\), треугольник \(ABC\) становится равнобедренным, и его сторона может принимать значение \(s = 2\), так как в этом случае вершина \(C\) находится на прямой, соединяющей \(A\) и \(B\), а расстояние между основаниями цилиндра не влияет на длину стороны.

Ответ: \(2\) или \(\sqrt{3}\).