ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(A\), \(C\) и \(D\) принадлежат окружности одного из оснований цилиндра. Известно, что \(\angle DAC = 90^\circ\), \(\angle ADC = 30^\circ\) и \(AC = 1\) см. Отрезки \(CK\) и \(DM\) — образующие цилиндра. Точка \(B\) делит отрезок \(DM\) в отношении \(3 : 1\), считая от точки \(D\), причём \(AB \perp KB\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Радиус основания цилиндра равен \(r = 1 \, \text{см}\), так как \(DC = 2 \, \text{см}\) и \(r = \frac{DC}{2}\). Высота цилиндра равна \(h = 4 \, \text{см}\), совпадая с длиной образующей \(DM\).

Площадь одного основания вычисляется как \(S_{\text{осн.}} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \, \text{см}^2\). Площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок.}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 4 = 8\pi \, \text{см}^2\).

Полная площадь поверхности цилиндра равна \(S_{\text{полн.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}} = 2\pi + 8\pi = 6\pi \, \text{см}^2\).

Для вычисления площади полной поверхности цилиндра необходимо учитывать две составляющие: площадь боковой поверхности и площадь двух оснований. Рассмотрим процесс расчета пошагово.

Сначала определим радиус основания цилиндра. Из условия задачи известно, что гипотенуза \(DC\) треугольника \(ADC\) равна \(2 \, \text{см}\), так как \(AC = 1 \, \text{см}\) и угол \(\angle ADC = 30^\circ\). Радиус основания цилиндра равен половине длины гипотенузы, то есть \(r = \frac{DC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, \text{см}\).

Далее определим высоту цилиндра. Высота цилиндра совпадает с длиной образующей \(DM\), которая равна \(4 \, \text{см}\). Это значение следует из условия задачи, где точка \(B\) делит \(DM\) в отношении \(3:1\), а также учитывается перпендикулярность \(AB\) к \(KB\).

Теперь рассчитаем площадь полной поверхности цилиндра. Площадь одного основания цилиндра равна площади круга с радиусом \(r = 1 \, \text{см}\). Формула площади круга: \(S_{\text{осн.}} = \pi r^2\). Подставляя значение радиуса, получаем \(S_{\text{осн.}} = \pi \cdot 1^2 = \pi \, \text{см}^2\). Площадь двух оснований составляет \(2S_{\text{осн.}} = 2\pi \, \text{см}^2\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок.}} = 2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. Подставляя значения \(r = 1 \, \text{см}\) и \(h = 4 \, \text{см}\), получаем \(S_{\text{бок.}} = 2\pi \cdot 1 \cdot 4 = 8\pi \, \text{см}^2\).

Суммируя площадь двух оснований и площадь боковой поверхности, находим полную площадь поверхности цилиндра: \(S_{\text{полн.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}} = 2\pi + 8\pi = 6\pi \, \text{см}^2\).