ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вокруг цилиндрической колонны высотой 5 м и диаметром 1 м обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до верха колонны тремя полными витками. Найдите длину ленты.

Лента поднимается по спирали, её длина равна гипотенузе треугольника с горизонтальным расстоянием \(L_{\text{гор}} = 3\pi\) (длина трёх окружностей) и вертикальным расстоянием \(L_{\text{верт}} = 5\) (высота цилиндра). По теореме Пифагора:

\(L = \sqrt{L_{\text{гор}}^2 + L_{\text{верт}}^2} = \sqrt{(3\pi)^2 + 5^2} = \sqrt{9\pi^2 + 25}\).

Ответ: \(L = \sqrt{25 + 9\pi^2}\).

Для нахождения длины ленты, обвивающей цилиндрическую колонну, нужно учитывать её спиральный путь. Лента поднимается по цилиндру, делая три полных витка, и её длина определяется как гипотенуза треугольника, где один катет — это общее горизонтальное расстояние, пройденное по окружности, а другой катет — это высота цилиндра.

Длина одного витка по окружности основания цилиндра равна длине окружности. Радиус цилиндра \(r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} = 0.5\) м. Тогда длина окружности основания равна:

\(L_{\text{окр}} = 2\pi r = 2\pi \cdot 0.5 = \pi\) м.

Так как лента делает три витка, общее горизонтальное расстояние, которое она проходит, равно:

\(L_{\text{гор}} = 3 \cdot L_{\text{окр}} = 3 \cdot \pi = 3\pi\) м.

Вертикальное расстояние, которое проходит лента, равно высоте цилиндра \(h = 5\) м.

Теперь для нахождения длины ленты \(L\) используем теорему Пифагора. Лента движется по спирали, её путь можно рассматривать как гипотенузу треугольника, где горизонтальное расстояние \(L_{\text{гор}} = 3\pi\), а вертикальное расстояние \(L_{\text{верт}} = 5\). Тогда длина ленты:

\(L = \sqrt{L_{\text{гор}}^2 + L_{\text{верт}}^2} = \sqrt{(3\pi)^2 + 5^2} = \sqrt{9\pi^2 + 25}\).

Таким образом, длина ленты, обвивающей цилиндр, равна:

\(L = \sqrt{25 + 9\pi^2}\).