ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна \(h\), а угол между его равными сторонами равен \(\alpha\). Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Высота \(h\) делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Радиус вписанной окружности равен:

1. Полупериметр треугольника равен \(p = 2h \cdot \tan\frac{\alpha}{2} + \frac{2h}{\cos\frac{\alpha}{2}}\).

2. Площадь треугольника выражается как \(S = \frac{h \cdot p}{2}\).

3. Радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{S}{p}\), что упрощается до:

\[
r = h \cdot \tan\frac{\alpha}{2} \cdot \tan\left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)
\]

Для нахождения радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника используется следующая последовательность действий. Рассмотрим треугольник с основанием \(b\), боковыми сторонами \(a\), углом при вершине \(\alpha\) и высотой \(h\), опущенной из вершины на основание.

Сначала вычислим полупериметр треугольника. Полупериметр \(p\) равен половине суммы всех сторон треугольника:

\[
p = \frac{a + a + b}{2} = a + \frac{b}{2}.
\]

Далее выразим основание \(b\) через высоту \(h\) и угол \(\alpha\). Высота делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника, где:

\[
b = 2h \cdot \tan\frac{\alpha}{2}.
\]

Таким образом, полупериметр \(p\) становится:

\[
p = 2h \cdot \tan\frac{\alpha}{2} + \frac{2h}{\cos\frac{\alpha}{2}}.
\]

Площадь треугольника можно найти через высоту и основание:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(2h \cdot \tan\frac{\alpha}{2}\right) \cdot h = h^{2} \cdot \tan\frac{\alpha}{2}.
\]

Теперь радиус вписанной окружности \(r\) выражается через площадь \(S\) и полупериметр \(p\):

\[
r = \frac{S}{p} = \frac{h^{2} \cdot \tan\frac{\alpha}{2}}{2h \cdot \tan\frac{\alpha}{2} + \frac{2h}{\cos\frac{\alpha}{2}}}.
\]

Упростим выражение для радиуса. После приведения к общему знаменателю и сокращения получается:

\[
r = h \cdot \tan\frac{\alpha}{2} \cdot \tan\left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right).
\]