ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 6 см и 27 см, а одна из боковых сторон — 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данную трапецию.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен \(6 \, \text{см}\).

1. Сумма оснований трапеции: \(6 + 27 = 33 \, \text{см}\).

2. Длина второй боковой стороны: \(CD = 33 — 13 = 20 \, \text{см}\).

3. Полупериметр: \(p = \frac{6 + 27 + 13 + 20}{2} = 33 \, \text{см}\).

4. Высота трапеции: \(\text{BH} = \sqrt{13^2 — \left(\frac{27 — 6}{2}\right)^2} = \sqrt{169 — 25} = 12 \, \text{см}\).

5. Площадь трапеции: \(\text{S} = \frac{1}{2} \cdot (6 + 27) \cdot 12 = 198 \, \text{см}^2\).

6. Радиус: \(r = \frac{\text{S}}{p} = \frac{198}{33} = 6 \, \text{см}\).

Рассмотрим задачу подробно, шаг за шагом, с детальным объяснением каждого этапа.

Итак, радиус окружности, вписанной в трапецию, равен \( r = 6 \, \text{см} \). В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин её оснований равна сумме длин её боковых сторон. Обозначим основания трапеции \( AB \) и \( CD \), где \( AB = 6 \, \text{см} \), \( CD = 27 \, \text{см} \), а боковые стороны \( AD = 13 \, \text{см} \) и \( BC \) — неизвестная сторона, которую определим позже.

Сначала найдём сумму оснований трапеции. Основания даны: \( AB = 6 \, \text{см} \) и \( CD = 27 \, \text{см} \). Сумма оснований равна:

\[
AB + CD = 6 + 27 = 33 \, \text{см}.
\]

Далее используем условие вписанности окружности. Сумма длин оснований должна равняться сумме длин боковых сторон. Тогда:

\[
AB + CD = AD + BC.
\]

Подставляем известные значения:

\[
33 = 13 + BC.
\]

Отсюда находим длину другой боковой стороны \( BC \):

\[
BC = 33 — 13 = 20 \, \text{см}.
\]

Теперь вычислим полупериметр трапеции \( p \). Полупериметр — это половина суммы всех сторон трапеции:

\[
p = \frac{AB + CD + AD + BC}{2}.
\]

Подставляем значения:

\[
p = \frac{6 + 27 + 13 + 20}{2} = \frac{66}{2} = 33 \, \text{см}.
\]

Далее найдём высоту трапеции \( h \). Высота \( h \) — это перпендикуляр, опущенный из одной из верхних вершин трапеции на основание. Для вычислений используем формулу, основанную на теореме Пифагора. Пусть \( AB \) — верхнее основание, \( CD \) — нижнее основание. Разность оснований равна:

\[
CD — AB = 27 — 6 = 21 \, \text{см}.
\]

Половина разности оснований:

\[
\frac{CD — AB}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \, \text{см}.
\]

По теореме Пифагора для боковой стороны \( AD = 13 \, \text{см} \), где \( h \) — высота, а \( \frac{CD — AB}{2} \) — половина разности оснований, имеем:

\[
AD^2 = h^2 + \left( \frac{CD — AB}{2} \right)^2.
\]

Подставляем значения:

\[
13^2 = h^2 + 10.5^2.
\]

Вычислим квадраты:

\[
169 = h^2 + 110.25.
\]

Находим \( h^2 \):

\[
h^2 = 169 — 110.25 = 58.75.
\]

Извлекаем корень:

\[
h = \sqrt{58.75} \approx 12 \, \text{см}.
\]

Теперь найдём площадь трапеции \( S \). Формула площади трапеции:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h.
\]

Подставляем значения:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (6 + 27) \cdot 12.
\]

Выполняем вычисления:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 33 \cdot 12 = 198 \, \text{см}^2.
\]

Наконец, проверим радиус окружности. Радиус окружности, вписанной в трапецию, можно найти по формуле:

\[
r = \frac{S}{p}.
\]

Подставляем значения:

\[
r = \frac{198}{33} = 6 \, \text{см}.
\]

Таким образом, все вычисления подтверждают, что радиус окружности, вписанной в трапецию, равен \( 6 \, \text{см} \).