ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ развёртки боковой поверхности цилиндра равна \(d\) и образует с одной из сторон развёртки угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Диагональ развёртки цилиндра равна \(d\), угол с одной из сторон равен \(\alpha\).

Высота цилиндра \(h = d \sin \alpha\), так как \(\sin \alpha = \frac{h}{d}\).

Длина окружности основания \(l = d \cos \alpha\), так как \(\cos \alpha = \frac{l}{d}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты на длину окружности, умноженному на \(\pi\):
\(S = \pi l h = \pi d \cos \alpha \cdot d \sin \alpha = \pi d^2 \cos \alpha \sin \alpha\).

Диагональ развёртки цилиндра обозначена как \(d\), и она образует угол \(\alpha\) с одной из сторон прямоугольника, который развёртывается в цилиндр. Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно определить высоту и длину окружности основания цилиндра. Высота цилиндра — это сторона прямоугольника, которая соответствует вертикальному измерению цилиндра. По определению синуса угла \(\alpha\), высота равна произведению диагонали на синус этого угла: \(h = d \sin \alpha\). Это связано с тем, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (диагонали).

Длина окружности основания цилиндра связана с другой стороной прямоугольника, которая является горизонтальным измерением развёртки. По определению косинуса угла \(\alpha\), длина окружности равна произведению диагонали на косинус угла: \(l = d \cos \alpha\). Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета (длины окружности) к гипотенузе (диагонали). Таким образом, длина окружности основания цилиндра выражается через диагональ и угол \(\alpha\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется как произведение высоты \(h\) на длину окружности основания \(l\), умноженное на число \(\pi\), поскольку длина окружности равна \(2 \pi r\), а здесь \(l\) уже представляет полный периметр основания. Подставляя найденные выражения, получаем \(S = \pi l h = \pi (d \cos \alpha)(d \sin \alpha) = \pi d^2 \cos \alpha \sin \alpha\). Это выражение показывает, что площадь боковой поверхности цилиндра зависит от квадрата диагонали развёртки и произведения тригонометрических функций угла \(\alpha\), что отражает геометрическую связь между развёрткой и параметрами цилиндра.