ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Квадрат, диагональ которого равна 4 см, является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

Диагональ квадрата \(d = 4\pi\). Сторона квадрата \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\pi}{\sqrt{2}} = 2\pi \sqrt{2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади квадрата \(a^2 = (2\pi \sqrt{2})^2 = 8\pi^2\).

Площадь боковой поверхности цилиндра \(S = 2\pi r h\), где \(h = a = 2\pi \sqrt{2}\).

Подставляем: \(8\pi^2 = 2\pi r \times 2\pi \sqrt{2} = 4\pi^2 r \sqrt{2}\).

Отсюда радиус \(r = \frac{8\pi^2}{4\pi^2 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).

Площадь основания цилиндра \(S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi\) см².

Диагональ квадрата равна \(d = 4\pi\). Чтобы найти сторону квадрата \(a\), используем теорему Пифагора, так как диагональ квадрата связана со стороной формулой \(d = a \sqrt{2}\). Значит, сторона равна \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\pi}{\sqrt{2}} = 2\pi \sqrt{2}\). Это значение стороны квадрата — длина и высота развёртки боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади этой развёртки, то есть площади квадрата: \(S_{\text{бок}} = a^2 = (2\pi \sqrt{2})^2 = 4\pi^2 \times 2 = 8\pi^{2}\). При этом боковая поверхность цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. В нашем случае высота цилиндра равна стороне квадрата \(h = a = 2\pi \sqrt{2}\), так как развёртка представляет собой прямоугольник с высотой равной высоте цилиндра.

Подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности: \(8\pi^{2} = 2\pi r \times 2\pi \sqrt{2} = 4\pi^{2} r \sqrt{2}\). Отсюда выразим радиус основания \(r = \frac{8\pi^{2}}{4\pi^{2} \sqrt{2}} = \frac{8}{4 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\). Теперь найдем площадь основания цилиндра по формуле круга \(S_{\text{осн}} = \pi r^{2} = \pi (\sqrt{2})^{2} = 2\pi\) см².