ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Как изменится, увеличится или уменьшится, и во сколько раз площадь боковой поверхности цилиндра, если:

1) радиус его основания увеличить в \(k\) раз;

2) высоту цилиндра уменьшить в \(k\) раз;

3) высоту цилиндра увеличить в \(k\) раз, а радиус основания — уменьшить в \(k\) раз?

Какой функцией является зависимость площади боковой поверхности цилиндра от:

а) радиуса его основания;

б) высоты цилиндра?

Пусть радиус основания цилиндра \(r\), высота цилиндра \(h\). Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S = 2 \pi r h\).

1) При увеличении радиуса в \(k\) раз:
\(r \to kr\), тогда площадь станет \(S’ = 2 \pi (kr) h = k \cdot 2 \pi r h = kS\).
Площадь увеличится в \(k\) раз.

2) При уменьшении высоты в \(k\) раз:
\(h \to \frac{h}{k}\), тогда площадь станет \(S’ = 2 \pi r \frac{h}{k} = \frac{1}{k} \cdot 2 \pi r h = \frac{S}{k}\).
Площадь уменьшится в \(k\) раз.

3) При увеличении высоты в \(k\) раз и уменьшении радиуса в \(k\) раз:
\(h \to kh\), \(r \to \frac{r}{k}\), тогда площадь станет
\(S’ = 2 \pi \frac{r}{k} \cdot kh = 2 \pi r h = S\).
Площадь не изменится.

а) Зависимость площади боковой поверхности от радиуса:
\(S(r) = 2 \pi h r\) — линейная функция от \(r\).

б) Зависимость площади боковой поверхности от высоты:
\(S(h) = 2 \pi r h\) — линейная функция от \(h\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2 \pi r h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. Эта формула показывает, что площадь боковой поверхности пропорциональна произведению радиуса на высоту. Рассмотрим каждый из трёх случаев изменения параметров цилиндра.

1) Если радиус основания увеличить в \(k\) раз, то новый радиус будет равен \(kr\). Подставляя в формулу, получаем новую площадь боковой поверхности \(S’ = 2 \pi (kr) h = 2 \pi k r h = k \cdot 2 \pi r h = kS\). Это означает, что площадь боковой поверхности увеличится ровно в \(k\) раз, так как радиус входит в формулу линейно. Увеличение радиуса приводит к пропорциональному увеличению длины окружности основания, и, следовательно, площадь боковой поверхности растёт пропорционально этому увеличению.

2) При уменьшении высоты цилиндра в \(k\) раз высота становится равной \(\frac{h}{k}\). Тогда новая площадь боковой поверхности будет равна \(S’ = 2 \pi r \cdot \frac{h}{k} = \frac{1}{k} \cdot 2 \pi r h = \frac{S}{k}\). Это значит, что площадь боковой поверхности уменьшится в \(k\) раз. Высота цилиндра влияет на площадь боковой поверхности линейно, поэтому уменьшение высоты приводит к уменьшению площади на тот же коэффициент.

3) Если одновременно увеличить высоту в \(k\) раз, а радиус основания уменьшить в \(k\) раз, то новые параметры будут \(h’ = k h\) и \(r’ = \frac{r}{k}\). Подставим их в формулу: \(S’ = 2 \pi \cdot \frac{r}{k} \cdot (k h) = 2 \pi r h = S\). Таким образом, площадь боковой поверхности останется неизменной. Увеличение высоты компенсируется уменьшением радиуса, и произведение \(r \cdot h\) остаётся прежним, что сохраняет площадь боковой поверхности.

а) Зависимость площади боковой поверхности от радиуса основания при фиксированной высоте является линейной функцией: \(S(r) = 2 \pi h r\). Это значит, что при увеличении радиуса площадь изменяется пропорционально радиусу.

б) Аналогично, зависимость площади боковой поверхности от высоты при фиксированном радиусе также линейная: \(S(h) = 2 \pi r h\). Площадь растёт пропорционально высоте цилиндра.