ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диаметр основания цилиндра больше его высоты, а угол между диагоналями осевого сечения равен \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна \(S\).

Пусть радиус основания цилиндра \(r\), высота цилиндра \(h\), площадь основания \(S = \pi r^{2}\).

В осевом сечении цилиндра диагонали образуют угол \(\alpha\), диагонали — это диагонали прямоугольника со сторонами \(2r\) и \(h\).

Тангенс половины угла \(\frac{\alpha}{2}\) равен отношению половины высоты к радиусу: \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{h}{2r}\).

Отсюда высота \(h = 2r \tan \frac{\alpha}{2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h = 2 \pi r \cdot 2r \tan \frac{\alpha}{2} = 4 \pi r^{2} \tan \frac{\alpha}{2}\).

Подставляя \(r^{2} = \frac{S}{\pi}\), получаем \(S_{\text{бок}} = 4 S \tan \frac{\alpha}{2}\).

Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\), а высота цилиндра равна \(h\). Площадь основания задана как \(S=\pi r^{2}\), поэтому \(r=\sqrt{\frac{S}{\pi}}\). Рассмотрим осевое сечение цилиндра: это прямоугольник со сторонами \(2r\) (диаметр основания) и \(h\) (высота цилиндра). Диагонали этого прямоугольника пересекаются под углом \(\alpha\). Угол между диагоналями прямоугольника удобно связать с тангенсом половины угла, потому что диагонали симметричны: если провести радиус, то половина угла \(\frac{\alpha}{2}\) опирается на прямоугольный треугольник, у которого катеты \(r\) и \(\frac{h}{2}\). Тогда справедливо соотношение \(\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\frac{h}{2}}{r}=\frac{h}{2r}\). Отсюда выражаем высоту через радиус и угол: \(h=2r\,\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). Условие «диаметр основания больше его высоты» значит \(2r>h\), что эквивалентно \(\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)<1\), то есть \(\alpha<\frac{\pi}{2}\); это согласуется с полученной формулой и гарантирует корректность геометрической модели.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине окружности основания, умноженной на высоту: \(S_{\text{бок}}=2\pi r\,h\). Подставляя найденное выражение для \(h\), получаем \(S_{\text{бок}}=2\pi r\cdot 2r\,\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=4\pi r^{2}\,\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). Так как \(S=\pi r^{2}\), то \(r^{2}=\frac{S}{\pi}\). Следовательно, окончательно имеем \(S_{\text{бок}}=4\pi\cdot\frac{S}{\pi}\,\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=4S\,\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). Эта формула напрямую связывает искомую площадь боковой поверхности с известной площадью основания и углом между диагоналями осевого сечения. Она показывает, что при фиксированном \(S\) боковая площадь растет линейно с \(\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\), то есть монотонно по \(\alpha\) в допустимом диапазоне.

Интерпретируя геометрию угла между диагоналями, полезно понимать, что диагонали прямоугольника имеют длины \(\sqrt{(2r)^{2}+h^{2}}\) и пересекаются под углом, который определяется отношением высоты к основанию. Вместо прямого вывода через скалярное произведение векторов диагоналей удобнее рассмотреть половину угла: треугольник, образованный половинками диагоналей, эквивалентен треугольнику с катетами \(r\) и \(\frac{h}{2}\), что приводит к формуле \(\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{h}{2r}\). Далее переход к \(S_{\text{бок}}\) делается стандартно через развертку цилиндрической поверхности: прямоугольник с высотой \(h\) и основанием \(2\pi r\), откуда немедленно следует \(S_{\text{бок}}=2\pi r\,h\) и, после подстановки, итог \(S_{\text{бок}}=4S\,\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).