ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Дано: сторона основания \(a = 6\) см, высота \(h = 5\) см.

Радиус вписанного цилиндра в правильный треугольник:
\(r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра:
\(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h = 2 \pi \sqrt{3} \cdot 5 = 10 \pi \sqrt{3}\) см².

Дана правильная треугольная призма с длиной стороны основания \(a = 6\) см и высотой \(h = 5\) см. Необходимо найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму. Для начала определим радиус основания цилиндра. Поскольку цилиндр вписан в основание призмы, которое является правильным треугольником, радиус цилиндра равен радиусу вписанной окружности этого треугольника.

Радиус вписанной окружности правильного треугольника вычисляется по формуле \(r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\). Подставим известное значение стороны: \(r = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}\). Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(r = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\) см. Таким образом, радиус основания цилиндра равен \(\sqrt{3}\) сантиметров.

Теперь, зная радиус основания цилиндра и его высоту, которая равна высоте призмы \(h = 5\) см, можем найти площадь боковой поверхности цилиндра. Формула площади боковой поверхности цилиндра: \(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h\). Подставим значения: \(S_{\text{бок}} = 2 \pi \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = 10 \pi \sqrt{3}\) см². Это и есть искомая площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную треугольную призму.