ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба равно \(a\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в данный куб.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади двух оснований и боковой поверхности.

Радиус основания цилиндра равен \( \frac{a}{2} \), высота цилиндра равна \( a \).

Площадь двух оснований: \( 2 \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2 \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2} \).

Площадь боковой поверхности: \( 2 \pi \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2 \).

Суммарная площадь полной поверхности цилиндра:

\( S = \frac{\pi a^2}{2} + \pi a^2 = \frac{3 \pi a^2}{2} \).

Цилиндр вписан в куб, значит его основание вписано в квадрат основания куба, а высота цилиндра равна ребру куба \(a\). Радиус основания цилиндра равен половине ребра куба, то есть \(r = \frac{a}{2}\), так как диаметр цилиндра не может превышать сторону квадрата основания куба.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух кругов оснований и площади боковой поверхности. Площадь одного круга основания вычисляется по формуле \( \pi r^{2} \). Подставляя радиус, получаем \( \pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = \pi \frac{a^{2}}{4} \). Поскольку оснований два, площадь всех оснований будет равна \( 2 \pi \frac{a^{2}}{4} = \frac{\pi a^{2}}{2} \).

Боковая поверхность цилиндра — это прямоугольник, свернутый в трубку, его площадь равна произведению периметра основания на высоту цилиндра: \( 2 \pi r \cdot h \). Подставляем значения: \( 2 \pi \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^{2} \). Суммируя площадь боковой поверхности и площадь оснований, получаем полную площадь поверхности цилиндра: \( S = \frac{\pi a^{2}}{2} + \pi a^{2} = \frac{3 \pi a^{2}}{2} \).