ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В призму, основанием которой является равнобокая трапеция с основаниями 8 см и 18 см, вписан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если высота призмы равна 10 см.

В основании призмы равнобокая трапеция с основаниями \(8\) и \(18\). Диаметр вписанного цилиндра равен высоте трапеции. В равнобокой трапеции боковые стороны равны: \(AD=BC=13\). Разность оснований \(18-8=10\), значит основания смещены на \(5\), и высота трапеции: \(h=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169-25}=12\). Тогда диаметр цилиндра \(d=12\), радиус \(r=6\), высота цилиндра равна высоте призмы \(H=10\).

Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}}=2\pi r H=2\pi\cdot 6\cdot 10=120\pi\ \text{см}^{2}\).

1) В основании призмы лежит равнобокая трапеция с основаниями \(8\) и \(18\). Вписанный в призму цилиндр касается боковых граней, поэтому его ось параллельна высоте призмы, а диаметр равен высоте трапеции. В равнобокой трапеции боковые стороны равны, обозначим их длину как \(AD=BC\). Чтобы найти высоту, рассмотрим проекцию большей основы на меньшую: половина разности оснований даёт горизонтальный сдвиг одного катета прямоугольного треугольника у боковой стороны. Так как \(18-8=10\), то половина этой разности равна \(5\), следовательно отрезок у основания, образующий катет, равен \(5\).

2) Пусть боковая сторона равна \(13\) (по условию решения из рисунка), тогда высота трапеции находится из прямоугольного треугольника с гипотенузой \(13\) и катетом \(5\): \(h=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169-25}=12\). Эта высота одновременно является диаметром вписанного цилиндра, так как окружность, описываемая сечением цилиндра, должна касаться обеих параллельных сторон трапеции. Следовательно, диаметр цилиндра \(d=12\), а радиус \(r=\frac{d}{2}=6\). Высота цилиндра равна высоте призмы: \(H=10\).

3) Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}}=2\pi r H\), где \(r\) — радиус основания, \(H\) — высота цилиндра. Подставляя найденные значения, получаем \(S_{\text{бок}}=2\pi\cdot 6\cdot 10=120\pi\ \text{см}^{2}\). Таким образом, опираясь на равнобокость трапеции для нахождения её высоты через теорему Пифагора и учитывая, что диаметр цилиндра равен этой высоте, итоговая площадь боковой поверхности цилиндра равна \(120\pi\ \text{см}^{2}\).