ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В призму, основанием которой является ромб со стороной \(10\sqrt{2}\) см и углом \(45^\circ\), вписан цилиндр. Найдите площадь осевого сечения этого цилиндра, если высота призмы равна 4 см.

В ромбе со стороной \(10\sqrt{2}\) см и углом \(45^\circ\) высоту \(BH\) можно найти из отношения синуса:
\(\sin 45^\circ = \frac{BH}{AB} \Rightarrow BH = AB \sin 45^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\) см.

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади прямоугольника с основаниями \(2r\) (диаметром основания цилиндра) и высотой \(h\). Радиус основания цилиндра равен половине высоты ромба \(BH\), то есть \(r = \frac{10}{2} = 5\) см.

Высота призмы равна \(h = 4\) см.

Тогда площадь осевого сечения цилиндра:
\(S = 2r \cdot h = 2 \cdot 5 \cdot 4 = 40\) см².

Основанием призмы является ромб со стороной \(10\sqrt{2}\) см и углом \(45^\circ\). Чтобы найти высоту ромба, рассмотрим треугольник, образованный стороной ромба и высотой, опущенной на эту сторону. Высота \(BH\) ромба — это перпендикуляр из вершины \(B\) на сторону \(AD\). Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике следует, что \(\sin 45^\circ = \frac{BH}{AB}\), где \(AB = 10\sqrt{2}\) см — сторона ромба. Подставляя значения, получаем \(BH = AB \cdot \sin 45^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Поскольку \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\), то \(BH = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10\) см. Таким образом, высота ромба равна 10 см.

Вписанный в призму цилиндр имеет основание, вписанное в ромб, то есть круг, касающийся всех сторон ромба. Радиус этого круга равен половине высоты ромба, так как круг касается середины высоты ромба. Следовательно, радиус основания цилиндра равен \(r = \frac{BH}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см. Высота цилиндра совпадает с высотой призмы и равна \(h = 4\) см.

Площадь осевого сечения цилиндра — это площадь прямоугольника с высотой \(h\) и шириной, равной диаметру основания цилиндра \(2r\). Диаметр равен \(2 \cdot 5 = 10\) см. Тогда площадь осевого сечения равна произведению: \(S = 2r \cdot h = 10 \cdot 4 = 40\) см². Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра составляет 40 квадратных сантиметров.