ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, к площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть \(R\) — радиус описанного около правильной шестиугольной призмы цилиндра, а \(r\) — радиус вписанного в неё цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра пропорциональна произведению радиуса основания на высоту, при одинаковой высоте отношение площадей равно отношению радиусов.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности \(R\) связан с радиусом вписанной окружности \(r\) соотношением \(R = \frac{2r}{\sqrt{3}}\).

Отношение площадей боковых поверхностей:

\( \frac{S_{\text{опис}}}{S_{\text{впис}}} = \frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{R}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}} \).

Правильная шестиугольная призма имеет основание в виде правильного шестиугольника, у которого есть две важные окружности: вписанная и описанная. Вписанная окружность касается всех сторон шестиугольника изнутри, а описанная окружность проходит через все вершины. Радиус вписанной окружности обозначим \(r\), а радиус описанной — \(R\). При построении цилиндров вокруг призмы, вписанный цилиндр будет иметь основание с радиусом \(r\), а описанный цилиндр — с радиусом \(R\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2 \pi R h\), где \(R\) — радиус основания цилиндра, а \(h\) — высота. Поскольку высота цилиндров одинаковая (совпадает с высотой призмы), отношение площадей боковых поверхностей будет равно отношению радиусов оснований: \(\frac{S_{\text{опис}}}{S_{\text{впис}}} = \frac{2 \pi R h}{2 \pi r h} = \frac{R}{r}\).

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности связан с радиусом вписанной окружности формулой \(R = \frac{2 r}{\sqrt{3}}\). Это следует из геометрических свойств правильного шестиугольника, где радиус описанной окружности равен стороне, а радиус вписанной равен \(R \cos 30^\circ = R \frac{\sqrt{3}}{2}\), отсюда \(r = R \frac{\sqrt{3}}{2}\) и наоборот \(R = \frac{2 r}{\sqrt{3}}\). Подставляя это в отношение площадей, получаем \(\frac{S_{\text{опис}}}{S_{\text{впис}}} = \frac{R}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}\).