ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть \(S_{\text{внеш}}\) — площадь осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, а \(S_{\text{внутр}}\) — площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Из условия и рисунка имеем:

\[
\frac{S_{\text{внеш}}}{S_{\text{внутр}}} = \frac{2R \cdot h}{2r \cdot h} = \frac{2}{1}
\]

где \(R\) — радиус описанной окружности основания призмы, \(r\) — радиус вписанной окружности основания призмы, \(h\) — высота призмы.

Ответ: \(\frac{S_{\text{внеш}}}{S_{\text{внутр}}} = 2\).

Рассмотрим правильную треугольную призму, у которой основание — правильный треугольник. Для этой призмы можно описать цилиндр, осевое сечение которого проходит через высоту призмы и диаметр описанной окружности основания. Также можно вписать цилиндр, осевое сечение которого проходит через высоту призмы и диаметр вписанной окружности основания. Площадь осевого сечения цилиндра равна произведению длины оси цилиндра (высоты призмы \(h\)) на диаметр основания цилиндра (двойной радиус).

Радиус описанной окружности правильного треугольника обозначим как \(R\), а радиус вписанной окружности — как \(r\). Из геометрии правильного треугольника известно, что \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), а \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\), где \(a\) — сторона треугольника. Отношение радиусов будет равно \(\frac{R}{r} = 2\). Теперь площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, равна \(S_{\text{внеш}} = 2R \cdot h\), так как диаметр основания равен \(2R\), а высота призмы — \(h\). Аналогично площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в призму, равна \(S_{\text{внутр}} = 2r \cdot h\).

Для нахождения отношения площадей осевых сечений цилиндров делим \(S_{\text{внеш}}\) на \(S_{\text{внутр}}\):

\[
\frac{S_{\text{внеш}}}{S_{\text{внутр}}} = \frac{2R \cdot h}{2r \cdot h} = \frac{2R}{2r} = \frac{R}{r} = 2
\]

Таким образом, отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму, равно 2.