ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы, вычисляется по формуле \(S_б = \frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin^2 \alpha}\), где \(a\) — катет основания призмы, \(\alpha\) — угол при катете основания, и \(\beta\) — угол наклона диагонали боковой грани к плоскости основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы, вычисляется по формуле \(S_б = \frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin^2 \alpha}\), где \(a\) — катет основания призмы, \(\alpha\) — угол при катете основания, и \(\beta\) — угол наклона диагонали боковой грани к плоскости основания. Вывод этой формулы основан на следующих рассуждениях. Радиус основания цилиндра \(r\) равен длине гипотенузы основания призмы, которая вычисляется по теореме Пифагора: \(r = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Высота цилиндра \(h\) равна длине бокового ребра призмы, которая вычисляется по формуле \(h = a\cot\alpha\). Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_б = 2\pi r h = 2\pi a\sqrt{2}\cot\alpha\). Однако, поскольку диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\), то площадь боковой поверхности цилиндра будет равна \(S_б = \frac{2\pi a\sqrt{2}\cot\alpha}{\sin^2\beta} = \frac{\pi a^2 \tan\beta}{\sin^2\alpha}\).