ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и противолежащим углом \(\alpha\). Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Пусть \(a\) — сторона основания правильной треугольной призмы, \(h\) — высота призмы. Площадь боковой поверхности равна \(S = 3 a h\), откуда \(h = \frac{S}{3 a}\).

Радиус описанной окружности основания цилиндра \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Площадь осевого сечения цилиндра равна произведению диаметра основания на высоту: \(A = 2 R \cdot h = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{S}{3 a} = \frac{2 S}{3 \sqrt{3}}\).

Умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получаем \(A = \frac{2 S \sqrt{3}}{9}\).

Правильная треугольная призма имеет основание в виде правильного треугольника со стороной \(a\) и высоту \(h\). Боковая поверхность призмы состоит из трёх прямоугольников, каждый из которых имеет ширину \(a\) и высоту \(h\). Следовательно, площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S = 3 a h\). Из этого выражения можно выразить высоту призмы как \(h = \frac{S}{3 a}\).

Цилиндр, описанный около призмы, имеет основание, которое совпадает с окружностью, описанной около правильного треугольника. Радиус этой окружности равен \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Это стандартная формула для радиуса описанной окружности правильного треугольника, где радиус связан со стороной через деление на корень из трёх. Высота цилиндра совпадает с высотой призмы и равна \(h\).

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра \(2 R\), а другая — высоте \(h\). Площадь этого сечения вычисляется как произведение этих двух величин: \(A = 2 R \cdot h = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{S}{3 a} = \frac{2 S}{3 \sqrt{3}}\). Умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получаем окончательный вид площади осевого сечения: \(A = \frac{2 S \sqrt{3}}{9}\).