ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(a\).

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
\(r = \frac{1}{2} a \sqrt{2}\).

Площадь боковой поверхности призмы:
\(S = периметр \times h = (2a + a\sqrt{2}) h = a (2 + \sqrt{2}) h\).

Отсюда
\(a = \frac{S}{h (2 + \sqrt{2})}\).

Подставляем в формулу радиуса:
\(r = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{h (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2} = \frac{S \sqrt{2}}{2 h (2 + \sqrt{2})}\).

Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{2} — 1\):
\(r = \frac{S (\sqrt{2} — 1)}{2 h}\).

1. Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины \(a\). Для такого треугольника гипотенуза равна \(a \sqrt{2}\), так как по теореме Пифагора гипотенуза \(c = \sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}\). Радиус описанной окружности вокруг основания равен половине гипотенузы, то есть \(r = \frac{1}{2} a \sqrt{2}\).

2. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту \(h\). Периметр основания равен сумме всех сторон треугольника: \(a + a + a \sqrt{2} = a (2 + \sqrt{2})\). Тогда площадь боковой поверхности \(S = периметр \times h = a (2 + \sqrt{2}) h\). Из этой формулы выразим \(a\): \(a = \frac{S}{h (2 + \sqrt{2})}\).

3. Подставим найденное выражение \(a\) в формулу радиуса:
\(r = \frac{1}{2} a \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{h (2 + \sqrt{2})} \cdot \sqrt{2} = \frac{S \sqrt{2}}{2 h (2 + \sqrt{2})}\). Чтобы упростить знаменатель, умножим числитель и знаменатель на выражение \(\sqrt{2} — 1\), используя формулу разности квадратов:
\(r = \frac{S \sqrt{2} (\sqrt{2} — 1)}{2 h (2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} — 1)} = \frac{S (\sqrt{2} — 1) \cdot 2}{2 h (2 — 1)} = \frac{S (\sqrt{2} — 1)}{2 h}\).
Таким образом, окончательная формула для радиуса описанной окружности цилиндра:
\(r = \frac{S (\sqrt{2} — 1)}{2 h}\).