ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть радиус основания цилиндра \(R\), высота цилиндра \(h\).

1. Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{\text{бок}} = 2 \pi R h\).

2. Радиус \(R\) равен половине основания треугольника: \(R = \frac{m}{2}\), где \(m\) — длина боковой стороны основания.

3. Высота \(h\) цилиндра связана с диагональю \(t\) и углом наклона \(\beta\) так: \(h = t \sin \beta\).

4. Длина боковой стороны \(m\) связана с углом \(\alpha\) и диагональю \(t\) через треугольник: \(m = t \cos \beta \cdot \tan \frac{\alpha}{2}\).

Подставляем в формулу площади боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}} = 2 \pi \cdot \frac{t \cos \beta \cdot \tan \frac{\alpha}{2}}{2} \cdot t \sin \beta = \pi t^2 \sin \beta \cos \beta \tan \frac{\alpha}{2}\).

Ответ:

\(S_{\text{бок}} = \pi t^2 \sin \beta \cos \beta \tan \frac{\alpha}{2}\).

Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом при основании \(\alpha\). Рассмотрим боковую поверхность цилиндра, вписанного в эту призму. Радиус основания цилиндра \(R\) совпадает с половиной длины боковой стороны треугольника основания, так как цилиндр вписан по боковой стороне. Обозначим длину боковой стороны основания через \(m\), тогда \(R = \frac{m}{2}\).

Диагональ боковой грани призмы, проходящей через боковую сторону основания, равна \(t\). Эта диагональ наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Высоту цилиндра \(h\) можно выразить через \(t\) и угол \(\beta\), используя тригонометрию: высота — это проекция диагонали на вертикальную ось, значит \(h = t \sin \beta\).

Длину боковой стороны основания \(m\) можно найти через диагональ \(t\), угол наклона \(\beta\) и угол при основании \(\alpha\). Так как диагональ наклонена к основанию под углом \(\beta\), её горизонтальная проекция равна \(t \cos \beta\). В основании треугольника угол \(\alpha\), и половина основания связана с боковой стороной через тангенс половины угла: \(m = t \cos \beta \cdot \tan \frac{\alpha}{2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{\text{бок}} = 2 \pi R h\). Подставляем выражения для \(R\) и \(h\):

\(S_{\text{бок}} = 2 \pi \cdot \frac{m}{2} \cdot t \sin \beta = \pi m t \sin \beta\).

Подставляя \(m = t \cos \beta \cdot \tan \frac{\alpha}{2}\), получаем:

\(S_{\text{бок}} = \pi t \sin \beta \cdot t \cos \beta \cdot \tan \frac{\alpha}{2} = \pi t^{2} \sin \beta \cos \beta \tan \frac{\alpha}{2}\).

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра выражается формулой

\(S_{\text{бок}} = \pi t^{2} \sin \beta \cos \beta \tan \frac{\alpha}{2}\).