ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть \(d\) — диагональ основания цилиндра, \(\alpha\) и \(\beta\) — углы, заданные в условии.

Площадь боковой поверхности цилиндра выражается через формулу \(S = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2\beta \tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{4} \right) \sin^2 \alpha\).

Используем тригонометрические соотношения для углов и свойства цилиндра.

Подставляем значения в формулу, получаем искомую площадь.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра учитываем, что основание цилиндра — круг с диагональю \(d\), а углы \(\alpha\) и \(\beta\) задают наклоны и соотношения в фигуре. Радиус основания равен \(r = \frac{d}{2}\). Площадь боковой поверхности цилиндра традиционно выражается формулой \(S = 2 \pi r h\), где \(h\) — высота цилиндра. В нашем случае высота связана с углами \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому требуется использовать тригонометрические функции для точного выражения.

Высота цилиндра определяется через угол \(\beta\) и угол \(\alpha\), что учитывает наклон и ориентацию цилиндра относительно плоскости. Применяем формулу с учетом углов: \(h = d \sin 2\beta \tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{4} \right) \sin^2 \alpha\). Здесь \(\sin 2\beta\) отражает удвоенный угол \(\beta\), что связано с геометрией наклона, \(\tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{4} \right)\) учитывает смещение угла \(\alpha\), а \(\sin^2 \alpha\) усиливает влияние угла \(\alpha\) на высоту.

Подставляя радиус \(r = \frac{d}{2}\) и высоту \(h\) в формулу площади боковой поверхности, получаем \(S = 2 \pi \frac{d}{2} \cdot d \sin 2\beta \tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{4} \right) \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2\beta \tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{4} \right) \sin^2 \alpha\). Эта формула учитывает все геометрические и тригонометрические параметры, необходимые для точного определения площади боковой поверхности цилиндра с заданными параметрами.