ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности призмы, основанием которой является ромб с углом \(\alpha\), равна \(S\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть площадь боковой поверхности призмы равна \(S\).

1. По условию: \(S_{\text{бок. призмы}} = 2 p h\), где \(p\) — полупериметр основания (ромба), \(h\) — высота призмы.

2. Высота цилиндра равна высоте призмы: \(h = 5\).

3. Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{\text{бок. цилиндра}} = 2 \pi r h\).

4. Радиус вписанного в ромб цилиндра равен \(r = \frac{1}{2} d\), где \(d\) — диагональ ромба.

5. Диагональ ромба связана с площадью основания \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2\) и углом \(\alpha\).

6. Итог: \(S_{\text{бок. цилиндра}} = \frac{1}{4} \pi S h \sin \alpha\).

Пусть у нас есть призма с основанием в виде ромба, у которого угол между сторонами равен \(\alpha\). Площадь боковой поверхности этой призмы обозначим через \(S\). Боковая поверхность призмы состоит из четырёх прямоугольников, каждый из которых имеет высоту \(h\) и длину стороны ромба. Если обозначить сторону ромба как \(a\), то периметр основания равен \(4a\). Тогда площадь боковой поверхности призмы будет равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S = 4 a h\).

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму, нужно понять, как цилиндр связан с ромбом. Цилиндр вписан так, что его основание — круг, вписанный в ромб. Радиус этого круга равен радиусу вписанной окружности ромба. Радиус вписанной окружности ромба можно выразить через площадь основания и полупериметр. Площадь ромба равна \(S_{\text{осн}} = a^2 \sin \alpha\), а полупериметр равен \(p = 2a\). Тогда радиус вписанной окружности \(r = \frac{S_{\text{осн}}}{p} = \frac{a^2 \sin \alpha}{2a} = \frac{a \sin \alpha}{2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок. цилиндра}} = 2 \pi r h\). Подставляя выражение для радиуса, получаем \(S_{\text{бок. цилиндра}} = 2 \pi \cdot \frac{a \sin \alpha}{2} \cdot h = \pi a h \sin \alpha\). Используя связь между площадью боковой поверхности призмы \(S = 4 a h\), выразим \(a h = \frac{S}{4}\). Тогда площадь боковой поверхности цилиндра будет равна \(S_{\text{бок. цилиндра}} = \pi \sin \alpha \cdot \frac{S}{4} = \frac{\pi}{4} S \sin \alpha\).