ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна \(S\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{цилиндра} = 2\pi r h\).

Подставим \(a\) в формулу для площади цилиндра:

\(S_{цилиндра} = 2\pi r h = 2\pi \frac{a\sqrt{3}}{2} h = \pi a \sqrt{3} h\).

Подставляем \(a\):

\(S_{цилиндра} = \pi \frac{S}{6h} \sqrt{3} h = \frac{\pi S \sqrt{3}}{6}\).

Ответ: \(S_{цилиндра} = \frac{\pi S \sqrt{3}}{6}\).

1. Пусть площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна \(S\). Известно, что боковая поверхность призмы вычисляется по формуле: \(S = P_{осн} \cdot h\), где \(P_{осн}\) — периметр основания, а \(h\) — высота призмы. Для правильного шестиугольника с длиной стороны \(a\) периметр основания равен \(6a\), поэтому \(S = 6a \cdot h\).

2. Внутри призмы можно вписать цилиндр, который касается всех боковых граней. Радиус основания такого цилиндра равен радиусу вписанной окружности в правильный шестиугольник. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности выражается как \(r = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Высота цилиндра совпадает с высотой призмы и равна \(h\). Формула площади боковой поверхности цилиндра: \(S_{цилиндра} = 2\pi r h\).

3. Подставим выражение для \(r\) и выразим сторону \(a\) через \(S\): \(a = \frac{S}{6h}\). Тогда радиус основания цилиндра: \(r = \frac{\frac{S}{6h} \sqrt{3}}{2} = \frac{S \sqrt{3}}{12h}\). Подставляем этот радиус в формулу площади боковой поверхности цилиндра: \(S_{цилиндра} = 2\pi r h = 2\pi \frac{S \sqrt{3}}{12h} h = \frac{\pi S \sqrt{3}}{6}\).

Ответ: \(S_{цилиндра} = \frac{\pi S \sqrt{3}}{6}\).