ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильную призму \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) вписан цилиндр, касающийся боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) по образующим \(MM_1\) и \(KK_1\) соответственно. Диагональ осевого сечения этого цилиндра равна \(d\) и наклонена к плоскости основания под углом \(\alpha\). Найдите площадь четырёхугольника \(MM_1K_1K\).

Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
\( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta \).

В цилиндре диагонали равны диаметру основания \( d \), угол между ними \( 2\alpha \).
Подставляем:
\( S = \frac{1}{2} d \cdot d \cdot \sin 2\alpha = \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha \).

Но учитывая, что диагональ проходит только по половине основания,
\( S = \frac{1}{4} d^2 \sin 2\alpha \).

Рассмотрим цилиндр с осевой диагональю длины \( d \), которая наклонена к основанию под углом \( \alpha \). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, диагональ которого пересекает основание под углом \( \alpha \). Если рассмотреть четырёхугольник, образованный двумя точками на окружности основания и их соответствующими вершинами на верхнем основании, то его площадь можно найти через известную формулу площади четырёхугольника по диагоналям и углу между ними.

Площадь четырёхугольника вычисляется как \( S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} \sin \theta \), где \( d_{1} \) и \( d_{2} \) — длины диагоналей, а \( \theta \) — угол между ними. В данном случае обе диагонали равны диаметру основания цилиндра, то есть \( d_{1} = d_{2} = d \), а угол между ними равен \( 2\alpha \), так как наклон диагонали к основанию составляет \( \alpha \). Подставляя эти значения, получаем: \( S = \frac{1}{2} d \cdot d \sin 2\alpha = \frac{1}{2} d^{2} \sin 2\alpha \).

Однако, при построении диагонали, которая наклонена к основанию под углом \( \alpha \), выясняется, что рассматриваемый четырёхугольник занимает только четверть площади полного прямоугольника, образованного диагоналями основания и боковой поверхностью цилиндра. Поэтому окончательная формула для площади данного четырёхугольника будет \( S = \frac{1}{4} d^{2} \sin 2\alpha \).