ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(AD\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Диагональ \(B_1D\) образует с гранями \(ABCD\) и \(AA_1D_1D\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда (грани \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) принадлежат основаниям цилиндра).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( S = 2\pi R h \).

Радиус основания цилиндра, описанного около прямоугольника с углом \(\alpha\), равен \( R = \frac{a \sin \alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta)} \).

Высота цилиндра \( h = a \).

Тогда \( S = 2\pi \cdot \frac{a \sin \alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta)} \cdot a = \frac{\pi a^2 \sin 2\alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta)} \).

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, описанного около прямоугольного параллелепипеда, сначала определим необходимые параметры. Пусть сторона основания равна \( a \), а угол между диагоналями основания — \( \alpha \). Высота цилиндра совпадает с высотой параллелепипеда и равна \( a \), так как цилиндр описан вокруг основания. Радиус основания цилиндра определяется геометрией вписанного прямоугольника и выражается через угол \(\alpha\) и стороны основания. Формула радиуса: \( R = \frac{a \sin \alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta)} \), где \(\beta\) — дополнительный угол, связанный с расположением диагоналей.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S = 2\pi R h \). Подставляя выражение для радиуса \( R \) и высоты \( h = a \), получаем: \( S = 2\pi \cdot \frac{a \sin \alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta)} \cdot a \). Здесь важно аккуратно раскрыть скобки и сократить множители, чтобы получить итоговую формулу в наиболее компактном виде. В числителе будет стоять произведение \( \pi a^{2} \sin \alpha \), а в знаменателе — \( 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta) \).

Заметим, что \( \sin \alpha \cdot a \cdot a = a^{2} \sin \alpha \), а также воспользуемся формулой двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). В результате преобразований окончательная формула площади боковой поверхности цилиндра принимает вид: \( S = \frac{\pi a^{2} \sin 2\alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta)} \).