ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является ромб \(ABCD\), острый угол \(A\) которого равен \(\alpha\), а диагональ \(BD\) равна \(d\). Плоскость \(BC_1D\) образует с плоскостью основания призмы угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Сначала выразим сторону ромба \(a\) через диагональ \(d\) и угол \(\alpha\): по теореме косинусов получаем \(a^2 = \frac{d^2}{2(1-\cos\alpha)}\), откуда \(a = \frac{d}{\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}\).

Площадь ромба равна \(S_{ABCD} = a^2 \sin\alpha = \frac{d^2 \sin\alpha}{2(1-\cos\alpha)}\). Высота цилиндра \(h\) связана с высотой призмы и углом \(\beta\): \(h = a \sin\alpha \cdot \tan\beta = \frac{d \sin\alpha}{\sqrt{2(1-\cos\alpha)}} \tan\beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок} = 2\pi r h\), где радиус \(r = \frac{d}{2}\). Подставляем значения: \(S_{бок} = 2\pi \frac{d}{2} h = \pi d h\). В итоге получаем: \(S_{бок} = \frac{1}{2} \pi d^2 \cos\frac{\alpha}{2} \cot\frac{\alpha}{2} \tan\beta\).

1. Основание призмы — ромб \(ABCD\) с острым углом \(A = \alpha\) и диагональю \(BD = d\). Цилиндр, вписанный в призму, касается всех боковых граней, а его основание лежит в плоскости ромба. Диаметр цилиндра равен диагонали \(BD\), то есть \(d\). Радиус цилиндра равен \(\frac{d}{2}\).

2. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра. Подставляем радиус: \(r = \frac{d}{2}\), тогда \(S = 2\pi \frac{d}{2} h = \pi d h\). Высота цилиндра определяется расстоянием между двумя параллельными плоскостями основания и верхней грани призмы, но из-за наклона боковой грани \(BC_1D\) к основанию угол между ними равен \(\beta\). Тогда реальная высота цилиндра равна длине проекции высоты призмы на направление перпендикулярное основанию, что выражается через \(\tan\beta\).

3. Для вычисления высоты призмы через параметры ромба используем геометрию: сторона ромба \(a = \frac{d}{2\cos\frac{\alpha}{2}}\), а высота призмы \(H = a \cot\frac{\alpha}{2}\). Тогда высота цилиндра будет \(h = H \tan\beta = \frac{d}{2\cos\frac{\alpha}{2}} \cot\frac{\alpha}{2} \tan\beta\). Подставляя это в формулу площади боковой поверхности, получаем: \(S = \pi d \cdot \frac{d}{2\cos\frac{\alpha}{2}} \cot\frac{\alpha}{2} \tan\beta = \frac{1}{2} \pi d^2 \cos\frac{\alpha}{2} \cot\frac{\alpha}{2} \tan\beta\).