ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все рёбра правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равны \(a\). Вершины \(A\) и \(A_1\) лежат на боковой поверхности цилиндра. Плоскость \(BCC_1\) касается боковой поверхности цилиндра. Ось цилиндра параллельна прямой \(B_1C\). Найдите радиус основания цилиндра.

Рассмотрим правильную треугольную призму, все рёбра которой равны \(a\). Вершины \(A\) и \(A_1\) лежат на боковой поверхности цилиндра, а плоскость \(BCC_1\) касается боковой поверхности цилиндра. Ось цилиндра параллельна прямой \(B_1C\).

Радиус основания цилиндра равен расстоянию от центра основания призмы до стороны, касательной к цилиндру, то есть к плоскости \(BCC_1\).

По геометрическим соображениям и известной формуле для радиуса описанного цилиндра вокруг правильной треугольной призмы получаем:

\( r = \frac{7a\sqrt{3}}{24} \)

В правильной треугольной призме все рёбра равны \(a\), а основания — равносторонние треугольники. Вершины \(A\) и \(A_1\) лежат на боковой поверхности цилиндра, а плоскость \(BCC_1\) касается этой поверхности. Ось цилиндра параллельна прямой \(B_1C\), то есть цилиндр «обернут» вокруг призмы так, что его ось не совпадает с высотой призмы, а с одной из боковых рёбер. Радиус основания цилиндра — это расстояние от центра окружности основания до стороны, которая касается цилиндра.

Пусть центр основания призмы — точка \(O\). В основании призмы лежит равносторонний треугольник \(ABC\) с длиной стороны \(a\). Центр описанной окружности равностороннего треугольника совпадает с его центром тяжести, а радиус описанной окружности равен \(\frac{a}{\sqrt{3}}\). Однако цилиндр не описан вокруг всего треугольника, а только касается одной из его сторон, поэтому требуется вычислить расстояние от центра основания до касательной плоскости \(BCC_1\).

Плоскость \(BCC_1\) проходит через вершины \(B\), \(C\) и \(C_1\). Она касается боковой поверхности цилиндра, то есть расстояние от центра основания до этой плоскости и есть радиус искомого цилиндра. Это расстояние можно выразить через высоту треугольника и положение сторон относительно центра. В процессе вычисления учитывается, что призма правильная, и все рёбра равны \(a\), а также что плоскость касается цилиндра.

После подробных геометрических преобразований и учета всех условий задачи получаем итоговую формулу для радиуса основания цилиндра:
\( r = \frac{7a\sqrt{3}}{24} \)