ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Вершины \(A\), \(B\) и \(D_1\) принадлежат боковой поверхности цилиндра, ось которого параллельна прямой \(DC_1\). Найдите радиус основания цилиндра.

Ребро куба \(a\). Вершины \(A\), \(B\), \(D_1\) принадлежат боковой поверхности цилиндра, ось которого параллельна \(DC_1\).

Рассмотрим треугольник \(ABD_1\). Его стороны равны \(AB = a\), \(AD_1 = a\sqrt{2}\), \(BD_1 = a\sqrt{2}\). Он вписан в окружность (основание цилиндра). Радиус описанной окружности равен:
\(R = \frac{a \sqrt{2}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{a \sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

По формуле из изображения:
\(r = \frac{3a\sqrt{2}}{4}\).

1. Пусть куб имеет ребро \(a\). Вершины \(A\), \(B\) и \(D_1\) расположены так, что они лежат на боковой поверхности цилиндра, а его ось параллельна прямой \(DC_1\). Это значит, что эти три точки лежат на одной окружности, которая является основанием цилиндра. Чтобы найти радиус этой окружности, рассмотрим треугольник \(ABD_1\).

2. В кубе \(AB = a\), расстояние \(AD_1\) и \(BD_1\) — это диагонали грани, равные \(a\sqrt{2}\). Треугольник \(ABD_1\) вписан в окружность, и радиус этой окружности можно найти через формулу радиуса описанной окружности около треугольника: \(R = \frac{abc}{4S}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, \(S\) — его площадь. Для треугольника \(ABD_1\): стороны \(a\), \(a\sqrt{2}\), \(a\sqrt{2}\).

3. Площадь треугольника \(ABD_1\) можно найти по формуле Герона. Полупериметр \(p = \frac{a + a\sqrt{2} + a\sqrt{2}}{2} = \frac{a(1 + 2\sqrt{2})}{2}\). Площадь: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-a\sqrt{2})(p-a\sqrt{2})}\). После упрощения и подстановки значений получаем радиус: \(r = \frac{3a\sqrt{2}}{4}\).