ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов большей боковой стороны на 1 см и 2 см. Найдите площадь трапеции.

В прямоугольной трапеции центр вписанной окружности удалён от концов большей боковой стороны на 1 см и 2 см. По теореме Пифагора находим длину этой стороны: \( \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \).

Далее, используя подобие треугольников, находим меньшую боковую сторону: \( \frac{n}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \), значит \( n = \frac{2}{\sqrt{5}} \).

Длина основания трапеции: \( \frac{4}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} = \frac{9}{\sqrt{5}} \).

Площадь трапеции: \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot OD = \frac{\frac{9}{\sqrt{5}} \cdot 4}{2 \sqrt{5}} = \frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3{,}6 \) \(\text{см}^2\).

Рассмотрим прямоугольную трапецию \(ABCD\), в которую можно вписать окружность. Пусть \(AB\) и \(CD\) — основания, \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны, причём \(AD\) — большая боковая сторона. Центр окружности \(O\) удалён от концов большей боковой стороны \(AD\) на 1 см и 2 см. Обозначим эти расстояния как \(AO = 1\) и \(DO = 2\). Тогда по теореме Пифагора длина большей боковой стороны равна \(AD = \sqrt{AO^{2} + DO^{2}} = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).

Теперь рассмотрим подобие треугольников. Треугольники \(PCO\) и \(OCD\) подобны по двум углам, так как оба прямоугольные, а угол при вершине \(C\) общий. Для нахождения меньшей боковой стороны используем отношение: \( \frac{PO}{OD} = \frac{OC}{CO} \cdot \frac{n}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \), отсюда \( n = \frac{2}{\sqrt{5}} \). Таким образом, меньшая боковая сторона равна \( \frac{2}{\sqrt{5}} \).

Основания трапеции вычисляются следующим образом: сумма основания \(BC\) и \(AD\) равна \( \frac{4}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} \), то есть приводим к общему знаменателю: \( \frac{4 + 5}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле площади через основания и высоту: \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot OD \). Подставляем найденные значения: \( S = \frac{\frac{9}{\sqrt{5}} \cdot 4}{2 \sqrt{5}} = \frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3{,}6 \) \(\text{см}^{2}\).