ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(CD\) — высота треугольника \(ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = 15\) см, \(CD = 12\) см. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник \(BCD\).

В треугольнике \(ACD\) по теореме Пифагора:
\(AD = \sqrt{AC^2 — CD^2} = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9\) см.

В треугольнике \(BCD\):
\(BC = CD = 12\) см (по условию),
\(DB = \sqrt{CD^2 + BD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см.

Полупериметр:
\(p = \frac{BC + CD + DB}{2} = \frac{12 + 16 + 20}{2} = \frac{48}{2} = 24\) см.

Радиус вписанной окружности:
\(r = \frac{BC + CD — DB}{2} = \frac{12 + 16 — 20}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.

Длина окружности:
\(C = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi\) см.

Для начала определим длину отрезка \(AD\) в треугольнике \(ACD\), где угол \(C\) прямой, \(AC = 15\) см, а высота \(CD = 12\) см. По теореме Пифагора находим: \(AD = \sqrt{AC^{2} — CD^{2}}\). Подставляем значения: \(AD = \sqrt{15^{2} — 12^{2}} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9\) см. Это — один из катетов прямоугольного треугольника, где гипотенуза \(AC\), а второй катет — высота \(CD\).

Далее рассмотрим треугольник \(BCD\), где нам нужно найти длину окружности, вписанной в этот треугольник. Стороны треугольника: \(BC = CD = 12\) см (по условию), \(DB\) является катетом в прямоугольном треугольнике с катетами \(CD = 12\) см и \(AD = 9\) см, поэтому \(DB = \sqrt{CD^{2} + AD^{2}} = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\) см. Теперь вычислим полупериметр треугольника \(BCD\): \(p = \frac{BC + CD + DB}{2} = \frac{12 + 12 + 15}{2} = \frac{39}{2} = 19{,}5\) см.

Радиус вписанной окружности \(r\) для треугольника вычисляется по формуле \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — его полупериметр. Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов: \(S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54\) см². Тогда радиус вписанной окружности: \(r = \frac{54}{19{,}5} \approx 2{,}77\) см. Длина окружности равна \(C = 2\pi r \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2{,}77 \approx 17{,}4\) см.

Однако если рассматривать треугольник \(BCD\) с данными из фото, где стороны \(BC = 12\) см, \(BD = 16\) см, \(CB = 20\) см, то радиус вписанной окружности: \(r = \frac{BC + BD — CB}{2} = \frac{12 + 16 — 20}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см. Тогда длина окружности будет \(C = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi\) см.