ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, ребро которого равно \(a\).

Площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба с ребром \(a\), вычисляется по формуле:

\(S_{\text{ц}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\),

где \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) — радиус основания цилиндра, а \(h = a\sqrt{2}\) — высота цилиндра.

Подставляем значения:

\(S_{\text{ц}} = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\pi \frac{a\sqrt{2}}{2} a\sqrt{2}\),

\(S_{\text{ц}} = 2\pi \frac{a^2}{4} \cdot 2 + 2\pi \frac{a^2 \cdot 2}{2}\),

\(S_{\text{ц}} = \pi a^2 + \pi a^2 \sqrt{2} = \pi a^2 (1 + \sqrt{2})\).

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра, описанного около куба с ребром \(a\), необходимо учитывать, что цилиндр касается всех сторон куба. Радиус основания цилиндра \(r\) равен половине диагонали одной грани куба, так как цилиндр вписан в квадрат этой грани. Диагональ грани куба вычисляется по теореме Пифагора:

\(\text{диагональ} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).

Следовательно, радиус основания цилиндра:

\(r = \frac{\text{диагональ}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Высота цилиндра \(h\) равна диагонали куба, проходящей через его объем. Эта диагональ также вычисляется по теореме Пифагора для трехмерного пространства:

\(\text{диагональ куба} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\).

Теперь площадь полной поверхности цилиндра состоит из двух частей: площади двух оснований и боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности цилиндра:

\(S_{\text{ц}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\).

Подставляем значения радиуса \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) и высоты \(h = a\sqrt{2}\) в формулу:

\(S_{\text{ц}} = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\pi \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2}\).

Раскрываем квадрат радиуса:

\(\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}\).

Подставляем обратно в формулу:

\(S_{\text{ц}} = 2\pi \cdot \frac{a^2}{2} + 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2}\).

Упрощаем первую часть:

\(2\pi \cdot \frac{a^2}{2} = \pi a^2\).

Вторая часть:

\(2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2} = 2\pi \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{2} = 2\pi a^2\).

Суммируем обе части:

\(S_{\text{ц}} = \pi a^2 + \pi a^2 \sqrt{2} = \pi a^2 (1 + \sqrt{2})\).