ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а его высота — 12 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:

\(S_{\text{п.ц.}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\),

где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.

Для описанного цилиндра радиус основания равен половине диагонали основания параллелепипеда. Диагональ основания параллелепипеда находится по теореме Пифагора:

\(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}\).

Радиус основания цилиндра:

\(r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}\).

Высота цилиндра равна высоте параллелепипеда:

\(h = 12 \, \text{см}\).

Подставляем значения в формулу площади полной поверхности цилиндра:

\(S_{\text{п.ц.}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi \cdot 5^2 + 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 60= 170\pi \, \text{см}^2\).

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра, описанного около прямоугольного параллелепипеда, используется формула:

\(S_{\text{п.ц.}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\),

где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.

Радиус основания цилиндра равен половине диагонали основания прямоугольного параллелепипеда. Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами \(a = 6 \, \text{см}\) и \(b = 8 \, \text{см}\). Диагональ основания вычисляется по теореме Пифагора:

\(d = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Подставляем значения сторон:

\(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}\).

Радиус основания цилиндра равен половине диагонали:

\(r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}\).

Высота цилиндра совпадает с высотой параллелепипеда, то есть:

\(h = 12 \, \text{см}\).

Теперь подставляем значения радиуса \(r\) и высоты \(h\) в формулу площади полной поверхности цилиндра:

\(S_{\text{п.ц.}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\).

Сначала вычислим площадь двух оснований цилиндра:

\(2\pi r^2 = 2\pi \cdot 5^2 = 2\pi \cdot 25 = 50\pi \, \text{см}^2\).

Затем вычислим площадь боковой поверхности цилиндра:

\(2\pi r h = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 2\pi \cdot 60 = 120\pi \, \text{см}^2\).

Суммируем площади двух оснований и боковой поверхности:

\(S_{\text{п.ц.}} = 50\pi + 120\pi = 170\pi \, \text{см}^2\).