ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Диагональ \(BD = 12\) см, угол \(\angle D = 30^\circ\).

1. В треугольнике \(\triangle ABD\):
\(\cos 30^\circ = \frac{\text{ED}}{\text{BD}}\),
\(\text{ED} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3}\) (см).
\(\text{AD} = \frac{1}{2} \cdot \text{BD} = 6\) (см).

2. Радиус основания цилиндра:
\(r = \text{AD} = 6\) (см).

3. Высота боковой поверхности призмы:
\(h = r \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} = 9\) (см).

4. Площадь боковой поверхности призмы:
\(\text{S}_{\text{бок.}} = 3a \cdot h = 27\) (см\(^2\)).

5. Общая площадь боковой поверхности:
\(\text{S}_{\text{бок.}} = 27 + 6 = 162\) (см\(^2\)).

Диагональ осевого сечения цилиндра \(BD = 12\) см образует угол \(\angle D = 30^\circ\) с плоскостью основания. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABD\), где \(\angle D = 30^\circ\). Для начала найдем длину катетов \(\text{AD}\) и \(\text{ED}\), используя свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABD\) катет \(\text{AD}\) лежит напротив угла \(30^\circ\), а катет \(\text{ED}\) прилегает к этому углу. По свойству треугольника с углом \(30^\circ\), гипотенуза \(\text{BD}\) в два раза больше катета, лежащего напротив угла. Следовательно,
\(\text{AD} = \frac{1}{2} \cdot \text{BD} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см.
Для нахождения второго катета \(\text{ED}\) используем соотношение \(\cos 30^\circ = \frac{\text{ED}}{\text{BD}}\). Подставляем значения:
\(\text{ED} = \cos 30^\circ \cdot \text{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3}\) см.

Теперь определим радиус основания цилиндра. Радиус равен длине катета \(\text{AD}\), так как диагональ осевого сечения проходит через центр основания. Таким образом, радиус цилиндра \(r = \text{AD} = 6\) см.

Высота боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, равна \(\text{h}\). Она вычисляется как высота равностороннего треугольника, вписанного в основание цилиндра. Формула высоты равностороннего треугольника:
\(\text{h} = r \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot \sqrt{3} = 9\) см.

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту. Периметр основания призмы равен тройному радиусу, так как основание призмы — равносторонний треугольник:
\(\text{P}_{\text{осн}} = 3r = 3 \cdot 6 = 18\) см.
Площадь боковой поверхности:
\(\text{S}_{\text{бок.}} = \text{P}_{\text{осн}} \cdot \text{h} = 18 \cdot 9 = 162\) см\(^2\).

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, равна \(162\) см\(^2\).