ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Дано: высота цилиндра \(h = 6\) см, угол между диагональю осевого сечения и основанием \(60^\circ\).

1. Рассмотрим треугольник с углом \(60^\circ\), где тангенс угла равен отношению высоты к половине диагонали основания призмы:
\(\tan 60^\circ = \frac{6}{\frac{d}{2}} = \frac{6}{r}\)
Отсюда \(r = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) см — радиус описанной окружности основания.

2. Основание — правильный четырёхугольник (квадрат) вписанный в окружность радиуса \(r\). Полу сторона квадрата равна \(a = \frac{r}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}\) см.

3. Периметр основания: \(P = 4a = 4\sqrt{3}\) см.

4. Площадь боковой поверхности призмы: \(S = P \times h = 4\sqrt{3} \times 6 = 24\sqrt{3}\) см².

Высота цилиндра дана и равна \(6\) см. Диагональ осевого сечения цилиндра образует угол \(60^\circ\) с плоскостью основания. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет — высота цилиндра, а другой — диаметр основания призмы. Для нахождения стороны основания призмы сначала найдём длину половины диагонали основания. Обозначим эту половину через \(r\). Тогда по определению тангенса угла \(60^\circ\) имеем:
\(\tan 60^\circ = \frac{6}{r}\).
Так как \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), то
\(r = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) см.

Призма правильная четырёхугольная, то есть её основание — квадрат. Квадрат вписан в окружность радиуса \(r\), где \(r\) — радиус описанной окружности. Связь между стороной квадрата \(a\) и радиусом описанной окружности \(r\) выражается формулой
\(a = r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{\sqrt{2}}\).
Подставим найденное значение \(r\):
\(a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2\sqrt{2}} = \sqrt{3}\) см (сокращая и упрощая).

Периметр основания равен сумме всех четырёх сторон квадрата:
\(P = 4a = 4 \sqrt{3}\) см.
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы:
\(S = P \times h = 4 \sqrt{3} \times 6 = 24 \sqrt{3}\) см².