ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна \(a\), а диагональ боковой грани образует с боковым ребром призмы угол \(\alpha\). Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Высота призмы \(h\) связана с углом \(\alpha\) через тангенс: \(h = a \cot \alpha\).

Осевое сечение — прямоугольник с основанием \(2a\) и высотой \(h\).

Площадь осевого сечения равна произведению сторон: \(S = 2a \cdot h = 2a \cdot a \cot \alpha = 2a^2 \cot \alpha\).

Ответ: \(2a^2 \cot \alpha\).

Правильная шестиугольная призма имеет основание в виде правильного шестиугольника со стороной длины \(a\). Рассмотрим осевое сечение призмы, которое проходит через ось призмы и является плоскостью, содержащей высоту призмы и диагональ основания. Диагональ основания равна \(2a\), так как правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников, и максимальное расстояние между двумя противоположными вершинами равно удвоенной стороне.

Высота призмы обозначена через \(h\). Из условия известно, что угол \(\alpha\) — это угол между диагональю боковой грани и боковым ребром. В боковой грани диагональ образует прямоугольный треугольник с высотой \(h\) и стороной основания \(a\). По определению тангенса угла \(\alpha\) имеем: \(\tan \alpha = \frac{a}{h}\). Отсюда выразим высоту призмы: \(h = a \cot \alpha\), где \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\).

Осевое сечение призмы — это прямоугольник с одной стороной, равной диагонали основания \(2a\), и другой стороной, равной высоте \(h\). Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон: \(S = 2a \cdot h = 2a \cdot a \cot \alpha = 2a^{2} \cot \alpha\). Таким образом, площадь осевого сечения выражается формулой \(2a^{2} \cot \alpha\).