ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 8.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота основания правильной треугольной призмы равна 9 см, а боковое ребро призмы — 4 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Дано: \( a_{\text{осн}} = 9 \, \text{см} \), \( h = 4 \, \text{см} \).

1. Найдём сторону треугольника основания \( a_3 \):

\( a_3 = \frac{a_{\text{осн}} \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 1{,}732}{2} = 7{,}794 \, \text{см} \).

2. Найдём радиус основания \( r_3 \) описанного около треугольника круга:

\( r_3 = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{7{,}794}{1{,}732} = 4{,}5 \, \text{см} \).

3. Площадь осевого сечения призмы (прямоугольника) равна:

\( S_{\text{осн}} = 2 r_3 \cdot h = 2 \cdot 4{,}5 \cdot 4 = 36 \, \text{см}^2 \).

Рассмотрим подробно вычисление стороны треугольника основания \( a_3 \). Из условия известно, что длина стороны основания равна \( a_{\text{осн}} = 9 \, \text{см} \). Треугольник, который мы рассматриваем, является равносторонним, и для нахождения стороны \( a_3 \) мы используем формулу, которая связывает сторону равностороннего треугольника с длиной его высоты или другой связанной величиной. В данном случае формула записывается как \( a_3 = \frac{a_{\text{осн}} \sqrt{3}}{2} \). Подставляя значение \( a_{\text{осн}} = 9 \), получаем \( a_3 = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \). Значение \( \sqrt{3} \) приближенно равно 1,732, поэтому вычисляем \( a_3 = \frac{9 \cdot 1{,}732}{2} = \frac{15{,}588}{2} = 7{,}794 \, \text{см} \). Таким образом, сторона треугольника основания равна приблизительно 7,794 см.

Далее, чтобы найти радиус основания \( r_3 \) описанной около треугольника окружности, используем формулу \( r_3 = \frac{a_3}{\sqrt{3}} \). Это связано с тем, что радиус описанной окружности около равностороннего треугольника равен стороне, делённой на \( \sqrt{3} \). Подставим найденное значение \( a_3 = 7{,}794 \, \text{см} \) и вычислим \( r_3 = \frac{7{,}794}{1{,}732} \). Деление даёт результат \( r_3 = 4{,}5 \, \text{см} \). Таким образом, радиус описанной окружности равен 4,5 см.

Наконец, рассчитаем площадь осевого сечения призмы. Осевое сечение призмы в данном случае представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна удвоенному радиусу основания \( 2 r_3 \), а другая — высоте призмы \( h \). Из условия высота равна \( h = 4 \, \text{см} \). Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S_{\text{осн}} = 2 r_3 \cdot h \). Подставим значения: \( S_{\text{осн}} = 2 \cdot 4{,}5 \cdot 4 = 36 \, \text{см}^2 \). Таким образом, площадь осевого сечения призмы равна 36 квадратных сантиметров.