ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 9 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен \(30^\circ\). Найдите площадь: 1) боковой поверхности конуса; 2) осевого сечения конуса.

1) Площадь боковой поверхности конуса:
Из рисунка: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( r = 9 \) см, \( l \) — образующая.
\( \cos 30^\circ = \frac{9}{l} \Rightarrow l = \frac{9}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см
\( S_{бок} = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\sqrt{3}\pi \) см\(^2\)

2) Площадь осевого сечения:
В осевом сечении треугольник \( DOC \):
\( \tan 30^\circ = \frac{DO}{OC} \Rightarrow DO = OC \cdot \tan 30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \) см
Площадь \( S_{DOC} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 18 = 27\sqrt{3} \) см\(^2\)

Для нахождения площади боковой поверхности конуса используем формулу \( S_{бок} = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания, а \( l \) — длина образующей. По условию задачи радиус основания конуса равен \( 9 \) см, а угол между образующей и плоскостью основания равен \( 30^\circ \). Чтобы найти длину образующей \( l \), рассмотрим треугольник, образованный радиусом, высотой и образующей. В этом треугольнике угол между радиусом и образующей равен \( 30^\circ \), а радиус равен \( 9 \) см. По определению косинуса: \( \cos 30^\circ = \frac{9}{l} \). Отсюда \( l = \frac{9}{\cos 30^\circ} \). Подставляем значение косинуса: \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Получаем: \( l = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} \). Преобразуем дробь: \( \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \) см. Теперь подставляем значения в формулу площади: \( S_{бок} = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\sqrt{3}\pi \) см\(^2\).

Для вычисления площади осевого сечения конуса рассмотрим треугольник, проходящий через ось конуса и его вершину. В этом сечении основание конуса — диаметр окружности, равный \( 2r = 18 \) см, а высота этого треугольника — расстояние от вершины конуса до основания, обозначим её как \( h \). Чтобы найти высоту, используем тангенс угла \( 30^\circ \): \( \tan 30^\circ = \frac{h}{r} \), где \( r = 9 \) см. Значение тангенса: \( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Тогда \( h = r \cdot \tan 30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \) см. Площадь осевого сечения равна площади треугольника: \( S_{осевое} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \) см\(^2\).

Таким образом, боковая поверхность конуса рассчитывается через радиус и образующую, которую находим с помощью косинуса угла между образующей и основанием, а осевое сечение — как площадь треугольника, где основание — диаметр основания конуса, а высота — находится через тангенс того же угла. В обоих случаях используются значения тригонометрических функций для вычисления необходимых элементов, что позволяет получить точные значения площадей: \( S_{бок} = 54\sqrt{3}\pi \) см\(^2\), \( S_{осевое} = 27\sqrt{3} \) см\(^2\).