ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В основании конуса проведена хорда длиной \(a\), стягивающая дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите высоту конуса.

Сначала выразим радиус основания конуса \(n\) через длину хорды \(a\) и угол дуги \(\alpha\): \(n = \frac{a}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\).

Высота конуса \(DO\) связана с радиусом и углом \(\beta\) формулой: \(DO = n \tan\beta\).

Подставляя выражение для \(n\), получаем: \(DO = \frac{a \tan\beta}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\).

В основании конуса проведена хорда длиной \(a\), которая стягивает дугу окружности с градусной мерой \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). Чтобы найти высоту конуса, рассмотрим сначала геометрию основания. Радиус основания конуса обозначим через \(n\). Из геометрии круга известно, что длина хорды, стягивающей дугу \(\alpha\), выражается формулой \(a = 2n \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). Это следует из построения треугольника, где вершины лежат на концах хорды, а угол между радиусами, проведёнными к концам хорды, равен \(\alpha\). Решая это уравнение относительно радиуса, получаем \(n = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\).

Теперь рассмотрим высоту конуса. Высота конуса \(DO\) опускается из вершины конуса на центр основания. Образующая \(DP\) наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). В треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, угол между высотой и радиусом равен \(90^\circ\), а угол между образующей и основанием равен \(\beta\). Используем тригонометрию: отношение высоты к радиусу основания равно тангенсу угла наклона образующей, то есть \(\tan\beta = \frac{DO}{n}\). Отсюда выражаем высоту: \(DO = n \tan\beta\).

Подставляя выражение для радиуса, получаем окончательную формулу для высоты конуса: \(DO = \frac{a \tan\beta}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\). Таким образом, чтобы вычислить высоту конуса, необходимо знать длину хорды \(a\), угол дуги \(\alpha\) и угол наклона образующей \(\beta\). Формула объединяет все три параметра, позволяя найти высоту конуса для любой допустимой конфигурации задачи.