ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В основании конуса проведена хорда, стягивающая дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Угол между высотой конуса и его образующей равен \(\beta\), а длина образующей равна \(t\). Найдите данную хорду.

Пусть \(O\) — центр основания, \(B\) и \(C\) — концы хорды, \(S\) — вершина конуса, \(m = t \sin \beta\) — радиус основания.

В треугольнике \(BOC\) угол \(BOC = \alpha\), а радиус \(OB = OC = m\).

По теореме косинусов:
\(BC = 2m \sin \frac{\alpha}{2}\)

Подставляем \(m = t \sin \beta\):

\(BC = 2 t \sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}\)

Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания, \(B\) и \(C\) — концы хорды, стягивающей дугу с градусной мерой \(\alpha\). Образующая конуса равна \(t\), а угол между высотой конуса и образующей равен \(\beta\). Радиус основания конуса обозначим через \(m\). По определению, если высота конуса \(h\), то \(\sin \beta = \frac{m}{t}\), откуда \(m = t \sin \beta\).

В основании конуса хорда \(BC\) стягивает дугу \(\alpha\). Центр окружности — точка \(O\), радиус \(OB = OC = m\). В треугольнике \(BOC\) угол \(BOC = \alpha\), стороны \(OB = OC = m\), а \(BC\) — искомая хорда. По теореме косинусов для треугольника \(BOC\):

\(BC^{2} = OB^{2} + OC^{2} — 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos \alpha\)

Так как \(OB = OC = m\), получаем:

\(BC^{2} = m^{2} + m^{2} — 2m^{2}\cos \alpha = 2m^{2}(1 — \cos \alpha)\)

Воспользуемся формулой \(1 — \cos \alpha = 2 \sin^{2} \frac{\alpha}{2}\):

\(BC^{2} = 4m^{2}\sin^{2} \frac{\alpha}{2}\)

Следовательно, длина хорды:

\(BC = 2m \sin \frac{\alpha}{2}\)

Теперь подставим выражение для радиуса основания \(m = t \sin \beta\):

\(BC = 2 t \sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}\)

Таким образом, длина хорды, стягивающей дугу \(\alpha\) в основании конуса, равна \(2 t \sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}\).