ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна \(\beta\) (\(0^\circ < \beta < 180^\circ\)). Найдите площадь образовавшегося сечения, если высота конуса равна \(H\), а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен \(\alpha\).

Пусть высота конуса равна \(H\), угол между плоскостью сечения и основанием \(\alpha\), а дуга основания соответствует углу \(\beta\).

Радиус основания выражается как \(R = H \tan \alpha\). Длина хорды основания, соответствующая углу \(\beta\), равна \(2R \sin \frac{\beta}{2}\).

Площадь треугольного сечения равна \(S = \frac{1}{2} \cdot 2R \sin \frac{\beta}{2} \cdot H \cot \alpha\), после упрощения получаем \(S = \frac{H^{2} \cot \alpha \tan \frac{\beta}{2}}{\sin \alpha}\).

Площадь сечения через вершину конуса и дугу основания, соответствующую углу \(\beta\), под углом \(\alpha\) к основанию, выражается через параметры задачи следующим образом.

Радиус основания конуса равен \(R = H \tan \alpha\), так как отношение радиуса к высоте определяет угол между образующей и основанием. Длина хорды, соответствующая дуге с углом \(\beta\), равна \(2R \sin \frac{\beta}{2}\), где \(R\) — радиус основания. Эта хорда будет основанием треугольного сечения. Высота треугольника — это проекция высоты конуса на плоскость сечения, равная \(H \cot \alpha\).

Площадь треугольного сечения вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2R \sin \frac{\beta}{2} \cdot H \cot \alpha\). Подставляя выражение для радиуса, получаем \(S = H \tan \alpha \sin \frac{\beta}{2} \cdot H \cot \alpha\). Заметим, что \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\), поэтому остаётся \(S = H^{2} \sin \frac{\beta}{2}\).

Для получения формулы с \(\cot\) и \(\tan\) преобразуем: \(\sin \frac{\beta}{2} = \tan \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2}\). В результате окончательная формула для площади сечения запишется так: \(S = \frac{H^{2} \cot \alpha \tan \frac{\beta}{2}}{\sin \alpha}\).