ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(60^\circ\), проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде длиной 8 см, стягивающей дугу, градусная мера которой равна \(90^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Дано: \(2r^2 = 64\), значит \(r^2 = 32\), отсюда \(r = 4\sqrt{2}\) см.

Хорда \(l\) найдём из формулы: \(l = 2r \sin{\frac{\alpha}{2}}\), где \(\alpha = 90^\circ\). Тогда \(l = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin{45^\circ} = 8\) см.

Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{\text{бок.}} = \pi r l = \pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\pi\sqrt{2}\) см\(^2\).

1. Пусть радиус основания конуса равен \( r \), а длина образующей — \( l \). По условию задачи известно, что сумма квадратов двух образующих, между которыми угол \( 60^\circ \), равна \( 64 \), то есть \( 2r^2 = 64 \). Отсюда находим \( r^2 = 32 \), значит \( r = 4\sqrt{2} \) см.

2. Хорда основания конуса, которую пересекает плоскость, стягивает дугу в \( 90^\circ \). Длина хорды вычисляется по формуле \( l = 2r \sin{\frac{\alpha}{2}} \), где \( \alpha \) — градусная мера дуги, то есть \( \alpha = 90^\circ \). Тогда \( \frac{\alpha}{2} = 45^\circ \), а \( \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставляем значения: \( l = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \) см.

3. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок.}} = \pi r l \). Подставляем найденные значения: \( S_{\text{бок.}} = \pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\pi\sqrt{2} \) см\( ^2 \).