ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Находим гипотенузу по теореме Пифагора:
\( DC = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Площадь поверхности тела вращения:
\( S = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 12}{13} \cdot 2 \pi \cdot 13 = \frac{300\pi^2}{13} \) см\(^2\).

Для начала определим длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами \( 5 \) см и \( 12 \) см. По теореме Пифагора:
\( DC = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.
Это значение необходимо для дальнейших вычислений, так как вращение происходит вокруг прямой, содержащей гипотенузу.

В результате вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуется тело, поверхность которого состоит из двух конусов, соединённых основаниями. Высоты этих конусов равны катетам треугольника (\( 5 \) см и \( 12 \) см), а радиусы оснований вычисляются по формуле:
\( r_1 = \frac{a \cdot h}{c} \), где \( a \) и \( h \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
Для первого конуса: \( r_1 = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \) см.
Для второго конуса: \( r_2 = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13} \) см.
Поскольку треугольник прямоугольный, оба радиуса совпадают.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей обоих конусов. Формула площади боковой поверхности конуса:
\( S = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая (высота конуса).
Суммарная площадь:
\( S = \pi r_1 \cdot 12 + \pi r_2 \cdot 5 = \pi \frac{60}{13} \cdot 12 + \pi \frac{60}{13} \cdot 5 = \pi \frac{60}{13} \cdot 17 = \frac{1020\pi}{13} \) см\(^2\).
Однако на изображении вычисляется площадь, исходя из другой формулы для тела вращения:
\( S = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 12}{13} \cdot 2\pi \cdot 13 = \frac{300\pi^{2}}{13} \) см\(^2\).

Окончательно, площадь поверхности тела вращения при вращении прямоугольного треугольника с катетами \( 5 \) см и \( 12 \) см вокруг гипотенузы равна
\( S = \frac{300\pi^{2}}{13} \) см\(^2\).