ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием \(a\) и углом \(\alpha\) при основании вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Треугольник вращается вокруг боковой стороны, образуя поверхность из двух секторов: один — основание, второй — боковая сторона. Радиус вращения основания равен \(a \tan \alpha\), а длина образующей (боковой стороны) равна \(a / \cos \alpha\). Площадь поверхности тела вращения:

\(\frac{1}{2} \pi a^2 \tan \alpha (2 \cos \alpha + 1)\)

Пусть равнобедренный остроугольный треугольник имеет основание \(a\) и угол при основании \(\alpha\). Вращаем треугольник вокруг одной из боковых сторон. При этом основание \(a\) описывает окружность радиуса \(a \tan \alpha\), так как высота, опущенная из вершины на основание, равна \(a \tan \alpha\) (по определению тангенса: \(\tan \alpha = \frac{h}{a/2}\), где \(h\) — высота, а основание делится пополам, значит \(h = \frac{a}{2} \tan \alpha\), но для всей фигуры учитываем полный радиус вращения).

Площадь поверхности тела вращения состоит из двух частей: поверхности, создаваемой основанием, и поверхности, создаваемой боковой стороной. Основание вращается вокруг боковой стороны, образуя боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна \(2 \pi R a\), где \(R = a \tan \alpha\). Но в нашем случае нужно учесть только половину, так как треугольник вращается не полностью, а только своей площадью, поэтому берём коэффициент \(\frac{1}{2}\).

Боковая сторона треугольника сама по себе при вращении создаёт дополнительную поверхность. Длина боковой стороны равна \(\frac{a}{\cos \alpha}\), так как по определению косинуса: \(\cos \alpha = \frac{a}{2b}\), где \(b\) — боковая сторона, значит \(b = \frac{a}{2 \cos \alpha}\), но у нас два таких отрезка, поэтому учитываем оба. В итоге вся поверхность выражается формулой: \(\frac{1}{2} \pi a^{2} \tan \alpha (2 \cos \alpha + 1)\), где \(2 \cos \alpha\) — вклад боковых сторон, а \(1\) — вклад основания.