ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, содержащей его основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равнобедренного треугольника с основанием \(a\) и противолежащим углом \(\alpha\), вращающегося вокруг основания, находится по формуле площади поверхности тела вращения:

Пусть боковая сторона равна \(b\). По теореме синусов: \(b = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).

Длина образующей: \(b\).

Площадь поверхности вращения: \(S = 2\pi \times \text{(средний радиус)} \times \text{образующая}\).

Средний радиус — это расстояние от основания до оси вращения: \(r = b \cos\frac{\alpha}{2}\).

Тогда:

\(S = 2\pi r b = 2\pi b^2 \cos\frac{\alpha}{2}\).

Подставляем \(b\):

\(S = 2\pi \left(\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\right)^2 \cos\frac{\alpha}{2}\).

Упрощаем:

\(S = 2\pi \frac{a^2}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}} \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi a^2 \cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}\).

Заметим, что \(\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cot\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\).

Ответ:

\(S = \frac{\pi a^2 \cot\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\)

Для нахождения площади поверхности тела вращения, образованного равнобедренным треугольником с основанием \(a\) и противолежащим углом \(\alpha\), который вращается вокруг прямой, содержащей его основание, сначала выразим боковую сторону треугольника через \(a\) и \(\alpha\). В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а угол при вершине равен \(\alpha\). Проведём высоту из вершины на основание, она делит угол \(\alpha\) пополам, а основание — на два равных отрезка по \(\frac{a}{2}\). Тогда, используя определение синуса, получаем: боковая сторона \(b = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).

Далее, при вращении треугольника вокруг основания, каждая боковая сторона описывает поверхность вращения, которая является усечённым конусом, но для площади поверхности вращения используется формула: \(S = 2\pi r l\), где \(r\) — расстояние от основания до оси вращения (радиус вращения), а \(l\) — длина образующей, то есть боковой стороны \(b\). Радиус вращения равен \(b \cos\frac{\alpha}{2}\), так как это проекция боковой стороны на плоскость основания, где \(\cos\frac{\alpha}{2}\) — косинус половины противолежащего угла.

Подставим найденные значения: \(r = b \cos\frac{\alpha}{2}\), \(l = b\), тогда \(S = 2\pi b^{2} \cos\frac{\alpha}{2}\). Подставляем выражение для \(b\): \(b = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\). Получаем \(S = 2\pi \left(\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\right)^{2} \cos\frac{\alpha}{2}\). Раскроем скобки в квадрате: \(S = 2\pi \frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}} \cos\frac{\alpha}{2}\). Упростим: \(S = \frac{\pi a^{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\).

Заметим, что \(\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cot\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\), где \(\cot\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\). Тогда окончательно получаем: \(S = \frac{\pi a^{2} \cot\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\). Это и есть площадь поверхности тела вращения, что полностью совпадает с приведённой в изображении формулой.