ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 9 см и высотой 4 см вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равна площади боковой поверхности двух цилиндров и одного конуса.

Основания трапеции: \(6\) см и \(9\) см, высота \(4\) см.

Вычисляем образующую конуса: \( \sqrt{(9-6)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) см.

Площадь поверхности тела вращения:
\( S = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 + \pi \cdot 4 \cdot 5 + \pi \cdot 4^2 = \pi \cdot (48 + 20 + 16) = \pi \cdot 84 = 84\pi \) см\(^2\).

1. Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями \(BC = 6\) см и \(AD = 9\) см, высотой \(h = 4\) см. При вращении этой трапеции вокруг большего основания \(AD\) образуется тело, состоящее из цилиндра (радиус основания \(6\) см, высота \(4\) см), конуса (основание радиус \(3\) см, высота \(4\) см) и дополнительного цилиндра (радиус основания \(9\) см, высота \(4\) см). Необходимо найти площадь поверхности этого тела вращения, исключая основания.

2. Сначала найдём длину образующей конуса \(CD\), которая является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(AD — BC = 9 — 6 = 3\) см и \(h = 4\) см. Тогда по теореме Пифагора: \(CD = \sqrt{(9-6)^2 + 4^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) см.

3. Площадь боковой поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух цилиндров и конуса: \(S = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 + \pi \cdot 4 \cdot 5 + \pi \cdot 4^2\). Первое слагаемое — площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом \(6\) см и высотой \(4\) см, второе — площадь боковой поверхности конуса с образующей \(5\) см и высотой \(4\) см, третье — площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом \(9\) см и высотой \(4\) см. Подставляем значения: \(S = 2\pi \cdot 24 + \pi \cdot 20 + \pi \cdot 16 = 48\pi + 20\pi + 16\pi = 84\pi\) см².