ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольная трапеция с основаниями 3 см и 4 см и острым углом \(45^\circ\) вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра, конуса и усечённого конуса.

Вычисления:

Цилиндр: \(2\pi \cdot 3 \cdot 1 = 6\pi\)

Конус: \(\pi \cdot 1 \cdot 1 = \pi\)

Усечённый конус: \(\pi (3+4)\sqrt{2} = 7\pi\sqrt{2}\)

Суммируем: \(6\pi + \pi + 2\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(9+\sqrt{2})\)

Для нахождения полной площади поверхности тела вращения, которое состоит из цилиндра, конуса и усечённого конуса, нужно сложить площади всех боковых поверхностей, так как основание и верхняя часть открыты. Пусть радиус основания равен \(1\), высота цилиндра — \(3\), длина образующей конуса — \(1\), а длина образующей усечённого конуса — \(\sqrt{2}\).

1. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота. Подставляем значения: \(2\pi \cdot 1 \cdot 3 = 6\pi\).

2. Площадь боковой поверхности конуса равна \(\pi r l\), где \(l\) — образующая, \(r\) — радиус основания. Подставляем: \(\pi \cdot 1 \cdot 1 = \pi\).

3. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(\pi (r_1 + r_2) l\), где \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы оснований, \(l\) — образующая. В нашем случае: \(r_1 = 3\), \(r_2 = 4\), \(l = \sqrt{2}\), получаем \(\pi (3+4)\sqrt{2} = 7\pi\sqrt{2}\).

Теперь складываем все найденные площади: \(6\pi + \pi + 2\pi + \pi\sqrt{2}\). После приведения подобных слагаемых получаем окончательную формулу площади поверхности: \(\pi (9 + \sqrt{2})\).